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In algebra la regola di Ruffini è un metodo efficiente per dividere un polinomio per un binomio di primo grado della forma
. Questa regola è stata descritta da Paolo Ruffini nel 1809 ed è un caso particolare della divisione polinomiale quando il divisore è un fattore lineare. La regola di Ruffini è anche nota come divisione sintetica[1].
L'algoritmo
La regola di Ruffini fornisce un metodo per dividere il polinomio
![{\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91e87d9ce00e025b5e261bcc0c46779644614067)
per il binomio
![{\displaystyle A(x)=x-r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7da4ea0ee4d301510af101537dfabebe053ddfd)
ottenendo il polinomio quoziente
![{\displaystyle Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c6618f8d3993e269eed96969762a68e8531cfc0)
e un resto
che è un termine costante (eventualmente nullo), poiché deve essere di grado minore rispetto al polinomio divisore[2].
L'algoritmo è una versione più efficiente della divisione polinomiale di
per
.
Per dividere
per
, si seguono i seguenti passi[3].:
- Si scrivono in ordine i coefficienti di
, e si scrive
in basso a sinistra, sopra la riga: ![{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &&&&&\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1c7642bc42d76c7dffb34546968162cbc791d0d)
- Si copia il coefficiente più a sinistra
in basso, sotto la riga: ![{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10bf85bcbcc770456e3c2fafe3bd288ce801fc2)
- Si moltiplica il numero più a destra di quelli sotto la riga, per
, e il risultato lo si scrive sopra la riga, spostato di un posto a destra: ![{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf5fdb1f8ead72c769b5a71e0ae03be43be790f7)
- Si somma questo valore con quello sopra di lui nella stessa colonna:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&&&\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&&&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb21cc25aea24680572a1e6250da7beefd048ef1)
Si ripetono i passi 3 e 4 fino al termine dei coefficienti ![{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&\dots &b_{1}\cdot r&b_{0}\cdot r\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&\dots &b_{1}\cdot r+a_{1}&a_{0}+b_{0}\cdot r\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&\dots &=b_{0}&=R\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e271eca6682634a7eccd5ca56478568a6564f3a9)
I valori
sono i coefficienti del polinomio risultante
, il cui grado sarà inferiore di uno a quello di
, invece
è il resto della divisione.
Un esempio numerico viene fornito più sotto.
Usi della regola
La regola di Ruffini ha varie applicazioni pratiche, molte di esse si basano sulla divisione semplice (come mostrato sotto) o sulle estensioni usuali che seguono.
Divisione polinomiale per x − r
Ecco un esempio di divisione polinomiale, con tutti i passaggi evidenziati[4].
Siano
![{\displaystyle P(x)=2x^{3}-5x^{2}-x+6,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9adc635c5c4eb45b2b539e02e1f7873c07b85e44)
![{\displaystyle A(x)=x+1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/123a4cbcad733276fafa818e62d602ff627e665d)
Vogliamo dividere
per
usando la regola di Ruffini. Poiché
non è della forma
, ma piuttosto
, è sufficiente riscrivere
come
![{\displaystyle A(x)=x+1=x-(-1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30f26f84c77443bdf462f0c8d7dc64ce861f9ad3)
Applichiamo ora l'algoritmo.
- Scriviamo i coefficienti di
e
: ![{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c|c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&&&\\\hline &&&&\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec38bdd8a7aa87f2a30116149ef16ed0f8f8e3a9)
- Copiamo il primo coefficiente sotto:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c|c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&&&\\\hline &+2&&&\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c2b1983d6cc13d71dc970e74904a4e06b9564b7)
- Moltiplichiamo il numero più a destra sotto la riga, per
, e scriviamolo al posto successivo sopra la riga: ![{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c|c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&-2&&\\\hline &+2&&&\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11d11f2f95ddec7c5fcc5cea1240d405c1569b28)
- Sommiamo i valori della seconda colonna dopo la riga verticale:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c|c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&-2&&\\\hline &+2&-7&&\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e0fdff646a8763e1adf178a184631dba5ee4349)
- Ripetiamo i passi 3 e 4 fino alla fine:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c|c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&-2&7&-6\\\hline &+2&-7&+6&0\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68a90d4ee71f8e8ea3e90005f281c9bdbe2ac5ae)
Abbiamo ottenuto, quindi, che:
![{\displaystyle P(x)=A(x)\cdot Q(x)+R,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/208e4e6fe18ddd81b814901a1d288ef95b2c3d0f)
dove
![{\displaystyle Q(x)=2x^{2}-7x+6,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359662c1498de5bcb3bea24017afbe92da9ecc0e)
![{\displaystyle R=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52d7d352965fb79f111f165c4c01c8f67898f7cf)
Divisione polinomiale per ax − k
Applicando una facile trasformazione, la regola di Ruffini si può generalizzare anche per le divisioni di un polinomio per un binomio qualsiasi di primo grado
. Infatti, considerando la relazione fondamentale
![{\displaystyle P(x)=(ax-k)\cdot Q(x)+R(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6d8381c7a11fe5f20d43e150d68331fc9c721b7)
dividendo tutto per
(sicuramente diverso da
) otteniamo
![{\displaystyle {\frac {P(x)}{a}}={\frac {(ax-k)\cdot Q(x)}{a}}+{\frac {R(x)}{a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab9c9d7ac9438c906e2e381a36182ed2067ee43b)
Detti
e
otteniamo:
![{\displaystyle P'(x)=(x-{\frac {k}{a}})\cdot Q(x)+R'(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec14f804344aafad7434a96a23536be0cf0701f)
Dunque il quoziente richiesto
è anche il quoziente della divisione di
per
, che si può ottenere con la regola appena esposta. Per trovare il resto richiesto
basterà moltiplicare il resto ottenuto
per
.
Trovare le radici di un polinomio
Il teorema delle radici razionali afferma che se un polinomio
![{\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c4835c694232647f017bded8672473ab0e89815)
ha coefficienti interi, le sue radici razionali sono sempre della forma
, dove
e
sono interi coprimi,
è un divisore (non necessariamente positivo) di
e
è un divisore di
. La ricerca delle radici razionali riguarderà sempre un numero finito di valori dato che
e
hanno ciascuno un numero finito di divisori interi. Ad esempio, se il nostro polinomio è
![{\displaystyle P(x)=x^{3}-4x^{2}+5x-2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50123bc18068e007115819ffc5ea784c2a019e78)
le radici razionali possibili appartengono all'insieme dei divisori interi di
che sarà:
![{\displaystyle \left\{+1,-1,+2,-2\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bf9290d7772be5e51608699045a2f0a3f2dcc3a)
Questo è un esempio semplice, perché il polinomio è monico (cioè,
); per i polinomi non monici, l'insieme delle possibili radici potrebbe includere alcune frazioni. In ogni caso, per i polinomi monici, ogni radice razionale è un intero, e quindi ogni radice intera deve essere un divisore del termine costante.
Pertanto, provando a porre
uguale a ciascuna delle radici possibili, si può tentare di dividere il polinomio per
. Se il polinomio quoziente risultante ha resto 0, abbiamo trovato una radice. Questo metodo però non permette di trovare radici irrazionali o complesse.
È evidente che se
per
, cioè se tutti i termini del polinomio
hanno coefficiente positivo, allora le uniche radici possibili per cui provare a dividere il polinomio sono quelle di segno negativo, inteso che nel polinomio vi sia almeno un termine con potenza di
ed
dispari.
Se, per esempio, volessimo trovare le radici del precedente polinomio
, dovremmo dividere
per il binomio
dove
è una delle radici possibili. Se il resto è uguale a
, il numero utilizzato è una radice:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc|c}&+1&-4&+5&-2\\+1&&+1&-3&+2\\\hline &+1&-3&+2&0\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|ccc|c}&+1&-4&+5&-2\\-1&&-1&+5&-10\\\hline &+1&-5&+10&-12\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25edef2a6042fa75528673067f1cbdb51859566c)
![{\displaystyle {\begin{array}{c|ccc|c}&+1&-4&+5&-2\\+2&&+2&-4&+2\\\hline &+1&-2&+1&0\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|ccc|c}&+1&-4&+5&-2\\-2&&-2&+12&-34\\\hline &+1&-6&+17&-36\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdd58190dc5bb5687cf5a98d59e3c69b9651bdb4)
e
sono radici, mentre
e
non lo sono.
Possiamo quindi scrivere il polinomio scomposto:
![{\displaystyle P(x)=x^{3}-4x^{2}+5x-2=(x-1)(x^{2}-3x+2)=(x-2)(x^{2}-2x+1)=(x-1)(x-1)(x-2).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/558fde1a8d5a8e451c7654468e35e0e39326b223)
Uguagliando
per trovare le radici del polinomio, otteniamo che queste sono
(con molteplicità
) e
Fattorizzazione polinomiale
Dopo avere usato il metodo "
" mostrato sopra (o un qualunque altro modo) per trovare tutte le radici su
di un certo polinomio, è semplice sfruttarle per fattorizzare parzialmente il polinomio stesso: a ogni fattore
che divide un polinomio dato corrisponde una radice
, e viceversa.
Quindi, se abbiamo il polinomio:
![{\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91e87d9ce00e025b5e261bcc0c46779644614067)
e abbiamo trovato come sue radici:
![{\displaystyle R=\left\{\alpha \in \mathbb {Q} :P(\alpha )=0\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bddcaf2f6c81ab088a6dd9451862d13e5668ae73)
consideriamo il prodotto:
![{\displaystyle Q(x)=a_{n}{\prod _{r\in R}(x-r)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/509e4f0e98ba4890862af4fbba6dbca90e9482ab)
Per il teorema fondamentale dell'algebra,
sarebbe uguale a
se tutte le radici di
fossero razionali. Ma è assai probabile che
non sia uguale a
, dato che
potrebbe avere anche radici irrazionali o complesse. Consideriamo allora il polinomio quoziente
![{\displaystyle S(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/089ac7a8869203348ab2f9f0fc23392fc29c6102)
Se
, allora
. Altrimenti,
sarà un polinomio, per la precisione un altro fattore di
che non ha radici razionali in
. Dunque
![{\displaystyle P(x)=Q(x)\cdot S(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aad68d161030fbaa2413ca8ed25b1d03a40c809b)
è una fattorizzazione completa di
su
se
altrimenti sarà una fattorizzazione completa su
, ma ci saranno altri fattori su
o su
.
Primo esempio: nessun resto
Sia
![{\displaystyle P(x)=x^{3}+2x^{2}-x-2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16944f88ffd810cfc524921f0aa3c79effa56817)
Con i metodi descritti sopra, troviamo che le radici razionali di
sono:
![{\displaystyle R=\left\{+1,-1,-2\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38f2b3063da08ef71487b587f0e23470e01d5803)
Pertanto, il prodotto di (
− ciascuna radice) è
![{\displaystyle Q(x)=1(x-1)(x+1)(x+2),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0caa20e8f3040595eb1662eb7f6d87394e27d944)
dà
![{\displaystyle S(x)=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f14c2b56ac4d17dc155b7dc1306c050a53e932d6)
E così il polinomio fattorizzato è
:
![{\displaystyle P(x)=(x-1)(x+1)(x+2).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bef6e82cab193c8ae835eb74ebab27c911e35bf0)
Secondo esempio: con resto
Sia
![{\displaystyle P(x)=2x^{4}-3x^{3}+x^{2}-2x-8.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082f28edc5c4ff038970759aac1ff0cc3b7bb8f9)
Con i metodi descritti sopra, troviamo che le radici razionali di
sono:
![{\displaystyle R=\left\{-1,+2\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14ab644dfe6f47fd5b37218e7c35f7056610a908)
Pertanto, il prodotto di (
− ciascuna radice) è
![{\displaystyle Q(x)=(x+1)(x-2),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d622ad1b9ac034d59cadc7513c66a893eabe08bc)
dà
![{\displaystyle S(x)=2x^{2}-x+4.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb9da00771409d18a8b6382b6c0b44f595a86ccf)
Dato che
, il polinomio fattorizzato sui razionali è
:
![{\displaystyle P(x)=(x+1)(x-2)(2x^{2}-x+4).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d31a2671fee96699b574f017909cf3fa425b7b1)
Note
- ^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8. p.24
- ^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8. pp.24-25
- ^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8. p.26
- ^ Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol. 1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1. p.350
Bibliografia
- Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.
- Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1.
Voci correlate
Altri progetti
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Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Regola di Ruffini, su MathWorld, Wolfram Research.
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