Spicchio sferico

In geometria, uno spicchio sferico è la porzione di una palla (comunemente detta "sfera"^[1]) delimitata da due semicerchi massimi e da un fuso sferico, definito come base dello spicchio. L'angolo tra i raggi dei due semicerchi è l'angolo diedro corrispondente allo spicchio e, dato un semicerchio che ruota attorno al proprio diametro, lo spicchio sferico viene generato da tale semicerchio che ruota per un'ampiezza pari a tale angolo diedro. Uno spicchio sferico sta quindi alla palla di cui è parte, come il suo angolo diedro sta a un angolo giro e, se tale angolo diedro è uguale a $\pi$ radianti o 180°, allora lo spicchio sferico viene definito "semisfera", mentre se l'angolo diedro è uguale a $2\pi$ , allora lo spicchio costituisce una palla completa.^[2]^[3]

Proprietà

Uno spicchio sferico è dotato di due piani di simmetria, uno che divide lo spicchio in due spicchi più piccoli e simmetrici, e uno che divide longitudinalmente lo spicchio generando due semi-spicchi.

Il volume dello spicchio sferico può essere intuitivamente correlato al diametro, e quindi al raggio, del semicerchio che lo genera per rivoluzione, cosicché mentre il volume di una palla di raggio $r$ è dato da ${\frac {4\pi r^{3}}{3}}$ , quello dello spicchio sferico con lo stesso raggio $r$ è dato da

V={\frac {\alpha }{2\pi }}\cdot {\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {2}{3}}\alpha r^{3}.

Utilizzando lo stesso principio e considerando che l'area della superficie di una sfera è data da $4\pi r^{2}$ , si può vedere che l'area della superficie del fuso sferico di angolo diedro $\alpha$ è data data da:

A={\frac {\alpha }{2\pi }}\cdot 4\pi r^{2}=2\alpha r^{2}.

Considerando poi che il volume di uno spicchio sferico sta al volume di una sfera come l'ampiezza del suo angolo diedro sta a un angolo giro (360°), si può concludere che, se $V_{\mathrm {s} }$ è il volume della sfera e $V_{\mathrm {w} }$ è il volume dello spicchio sferico dato:

{\frac {V_{\mathrm {w} }}{V_{\mathrm {s} }}}={\frac {\alpha }{2\pi }}.

Inoltre, se $S_{\mathrm {f} }$ è l'area della superficie del fuso sferico e $S_{\mathrm {s} }$ è l'area della superficie dello spicchio sferico:

{\frac {S_{\mathrm {f} }}{S_{\mathrm {s} }}}={\frac {\alpha }{2\pi }}.

Note

^ Benché spesso, soprattutto quando ci si riferisce a spazi tridimensionali, i termini "sfera" e "palla" siano usati intercambiabilmente per intendere lo stesso solido, in matematica con "sfera" si intende strettamente la superficie sferica che racchiude la "palla".
^ Andrea Pagano e Laura Tedeschini Lalli, La sfera (PDF), Università degli Studi Roma Tre. URL consultato il 10 maggio 2021.
^ Federigo Enriques e Ugo Amaldi, Elementi di geometria, Edizioni Studio Tesi, p. 523. URL consultato il 10 maggio 2021.