Spinore

Uno spinore visualizzato come un vettore che punta lungo il nastro di Möbius, mostrando una inversione di segno quando ruota attraverso un giro di 360°

In matematica e fisica, in particolare nella teoria dei gruppi ortogonali, uno spinore è un elemento di uno spazio vettoriale complesso introdotto per estendere il concetto di vettore. Gli spinori sono necessari dal momento che la struttura del gruppo delle rotazioni in un certo numero di dimensioni richiede ulteriori dimensioni per essere definita. Più precisamente, gli spinori sono oggetti geometrici costruiti da vettori dotati di una forma quadratica, come lo spazio euclideo o lo spaziotempo di Minkowski, attraverso una procedura algebrica, l'algebra di Clifford, o una procedura di quantizzazione. Una data forma quadratica può supportare diversi tipi di spinori.

Classicamente, lo spinore a due componenti è usato per descrivere lo spin dell'elettrone non relativistico dello spazio tridimensionale ordinario, ed attraverso l'equazione di Dirac, lo spinore di Dirac è utile nella descrizione matematica dello stato quantico dell'elettrone relativistico definito sullo spaziotempo di Minkowski. Nella teoria quantistica dei campi, lo spinore descrive lo stato di un sistema relativistico di più particelle.

In matematica, in particolare nella geometria differenziale, lo spinore ha varie applicazioni alla topologia algebrica e differenziale, geometria simplettica, teoria di gauge e varietà algebriche. Da un punto di vista algebrico, lo spinore è la rappresentazione della trasformazione ortogonale infinitesima che non può essere costruita a partire dalla rappresentazione della rotazione.

Storia

Lo spinore fu scoperto da Élie Cartan nel 1913[1][2], la parola "spinore" fu coniata da Paul Ehrenfest nel suo lavoro sulla fisica quantistica[3]. Gli spinori furono introdotti nella fisica matematica da Wolfgang Pauli nel 1927, con l'introduzione delle matrici di spin[4]. L'anno seguente, Paul Dirac scoprì la teoria relativistica dello spin elettronico, mostrando la connessione tra spinori e il gruppo di Lorentz[5]. Storicamente importanti risultano i lavori di Van der Waerden[6] e del matematico statunitense Veblen[7][8].

A partire dal 1930, Paul Dirac, Piet Hein e altri al Niels Bohr Institute crearono giochi come il tangloids per insegnare il calcolo degli spinori.

Introduzione

Nella geometria classica, rotazioni e riflessioni agiscono sui vettori dello spazio. In un certo senso, rotazioni e riflessioni contengono però informazioni geometriche più fini di quelle che possono essere espresse attraverso le loro azioni su un vettore: lo spinore è un oggetto costruito per inglobare dettagliatamente tale geometria.

Ci sono sostanzialmente due strutture per visualizzare la nozione di spinore: la prima è la teoria delle rappresentazioni, nella quale si conosce a priori che vi sono certe rappresentazioni dell'algebra di Lie dei gruppi ortogonali che non possono essere formate dalle usuali costruzioni tensoriali. Tali rappresentazioni "mancanti" sono dette rappresentazioni di spin, ed i loro costituenti sono appunto gli spinori. In quest'ottica uno spinore appartiene alla rappresentazione del rivestimento del gruppo di rotazione SO(n, R), o più generalmente al gruppo SO+(p, q, R) su spazi con segnatura (p,q). Il gruppo di Lie, ricoprente SO(n, R), di questo rivestimento a due fogli si denota con Spin(n, R), e si dice gruppo di spin. Tutte le proprietà degli spinori e le loro applicazioni sono definiti grazie a tale gruppo. La seconda struttura è di tipo geometrico: è possibile costruire esplicitamente uno spinore, e quindi esaminare come esso si comporta sotto l'azione del gruppo di Lie relativo. Quest'ultimo approccio ha il vantaggio di fornire una concreta ed elementare descrizione di cosa sia lo spinore, anche se diventa scomodo quando entrano in gioco proprietà più complesse.

Definizione formale

Si consideri l'epimorfismo (omomorfismo suriettivo) ρ : S p i n ( n ) → S O ( n ) {\displaystyle \rho :{\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {SO} }(n)\,} (definente un rivestimento a due fogli ) e una rappresentazione del gruppo ricoprente S p i n ( n ) {\displaystyle {\mathrm {Spin} }(n)\,} su uno spazio vettoriale (complesso) Δ n {\displaystyle \Delta _{n}\,} , cioè κ : S p i n ( n ) → U ( Δ n ) , {\displaystyle \kappa :{\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {U} }(\Delta _{n}),\,} dove U(W) denota il gruppo degli operatori unitari che agisce su uno spazio di Hilbert W.

Un elemento dello spazio vettoriale Δ n {\displaystyle \Delta _{n}\,} si dice spinore[9].

Spinori ed algebre di Clifford

Sia uno spazio Rn, e si consideri l'algebra di Clifford costruita su questo spazio (a sua volta uno spazio 2n dimensionale), allora gli spinori possono essere considerati come i vettori su cui operano gli elementi dell'algebra di Clifford, essendo questi ultimi rappresentati come matrici.

Note

  1. ^ (FR) Élie Cartan, Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane (PDF), in Bul. Soc. Math. France, vol. 41, 1913, pp. 53–96.
  2. ^ (FR) Élie Cartan, The theory of spinors, Paris, Hermann (reprinted 1981, Dover Publications), 1966, ISBN 978-0-486-64070-9.
  3. ^ (EN) Sin-Itiro Tomonaga, Lecture 7: The Quantity Which Is Neither Vector nor Tensor, in The story of spin, University of Chicago Press, 1998, p. 129, ISBN 0-226-80794-0.
  4. ^ (DE) Wolfgang Pauli, Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons, in Zeitschrift für Physik, vol. 43, 1927, pp. 601–632, DOI:10.1007/BF01397326.
  5. ^ (EN) Paul M. Dirac, The quantum theory of the electron, in Proceedings of the Royal Society of London, A117, 1928, pp. 610–624.
  6. ^ (DE) Bartel Leendert van der Waerden, Spinoranalyse, in Nachr. Akad. Wiss. Getting. Math.-Physik, K1, 1929, p. 100.
  7. ^ (EN) Oswald Veblen, Geometry of two-component spinors (PDF), in Proc. Natl. Acad. Sci. USA, vol. 19, n. 4, 1933, pp. 462–474.
  8. ^ (EN) Oswald Veblen, Spinors, in Science, vol. 80, n. 2080, 1934, pp. 415-419, DOI:10.1126/science.80.2080.415.
  9. ^ (EN) Thomas Friedrich, Dirac Operators in Riemannian Geometry, American Mathematical Society, 2000, p. 20, ISBN 978-0-8218-2055-1.

Bibliografia

  • (EN) Richard Brauer e Hermann Weyl, Spinors in n dimensions, in American Journal of Mathematics, vol. 57, n. 2, 1935, pp. 425–449, DOI:10.2307/2371218.
  • (FR) Élie Cartan, Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane (PDF), in Bul. Soc. Math. France, vol. 41, 1913, pp. 53–96.
  • (EN) Élie Cartan, The theory of spinors, Paris, Hermann (reprinted 1981, Dover Publications), 1966, ISBN 978-0-486-64070-9.
  • (EN) Claude Chevalley, The algebraic theory of spinors and Clifford algebras, Columbia University Press (reprinted 1996, Springer), 1954, ISBN 978-3-540-57063-9.
  • (EN) Paul M. Dirac, The quantum theory of the electron, in Proceedings of the Royal Society of London, A117, 1928, pp. 610–624.
  • (EN) Thomas Friedrich, Dirac Operators in Riemannian Geometry, American Mathematical Society, 2000, ISBN 978-0-8218-2055-1.
  • (EN) William Fulton e Joe Harris, Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, vol. 129, New York, Springer-Verlag, 1991, ISBN 0-387-97495-4, MR 1153249, ISBN 0-387-97527-6.
  • (EN) Peter B. Gilkey, Invariance Theory, the Heat Equation, and the Atiyah-Singer Index Theorem, Publish or Perish, 1984, ISBN 0-914098-20-9.
  • (EN) F. Reese Harvey, Spinors and Calibrations, Academic Press, 1990, ISBN 978-0-12-329650-4.
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  • (EN) H. Blaine Lawson e Marie-Louise Michelsohn, Spin Geometry, Princeton University Press, 1989, ISBN 0-691-08542-0.
  • (DE) Wolfgang Pauli, Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons, in Zeitschrift für Physik, vol. 43, 1927, pp. 601–632, DOI:10.1007/BF01397326.
  • (EN) Roger Penrose e Wolfgang Rindler, Spinors and Space-Time: Volume 2, Spinor and Twistor Methods in Space-Time Geometry, Cambridge University Press, 1988, ISBN 0-521-34786-6.
  • (EN) Sin-Itiro Tomonaga, Lecture 7: The Quantity Which Is Neither Vector nor Tensor, in The story of spin, University of Chicago Press, 1998, p. 129, ISBN 0-226-80794-0.

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