ゲルマン行列

ゲルマン行列（ゲルマンぎょうれつ, 英: Gell-Mann matrices）とは、3次特殊ユニタリ群SU(3) の無限小変換の生成子をなす8つの複素行列の組^[1][2]。SU(3) に付随するリー代数の標準的な基底として、用いられる。ゲルマン行列はハドロンの分類において、SU(3)対称性に基づく八道説（英語版）を提唱した米国の物理学者マレー・ゲルマンによって、導入された^[3]。

定義と基本的な性質

次式で定義される8個の3×3複素行列の組をゲルマン行列という。

${\displaystyle \lambda _{1}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{2}={\begin{bmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \lambda _{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{4}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \lambda _{5}={\begin{bmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{6}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \lambda _{7}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\\\end{bmatrix}}}$

ここで、λ₁, λ₂, λ₃ は部分空間に作用するパウリ行列 σ₁, σ₂, σ₃ を

${\displaystyle \lambda _{a}={\begin{bmatrix}\sigma _{a}&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad (a=1,2,3)}$

の形で含んでおり、ゲルマン行列はパウリ行列の一般化となっている^[4]。

ゲルマン行列 λ_a (a=1,…,8) はエルミート行列かつトレースはゼロとなる。

${\displaystyle \lambda _{a}^{\,\dagger }=\lambda _{a}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\lambda _{a})=0}$

また、二つのゲルマン行列の積のトレースは正規化されており、次の関係式を満たす^[5]。

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\lambda _{a}\lambda _{b})=2\delta _{ab}}$

但し、δ_abはクロネッカーのデルタである。

交換関係・反交換関係

ゲルマン行列の交換関係 [λ_a, λ_b]=λ_a λ_b-λ_b λ_a は次のようなゲルマン行列の線形結合で表される。

${\displaystyle [\lambda _{a},\lambda _{b}]=2i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}\lambda _{c}}$

ここで、f_abc は添え字 a, b, c について、完全反対称な実係数である。f_abc のうち、ゼロでないものは、a < b < c を満たすもので代表させて表すと、次のようになる。

${\displaystyle f_{123}=1}$

${\displaystyle f_{147}=f_{246}=f_{257}=f_{345}={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle f_{156}=f_{367}=-{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle f_{458}=f_{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

一方、反交換関係 {λ_a, λ_b}=λ_a λ_b+λ_b λ_a は次の形をとる。

${\displaystyle \{\lambda _{a},\lambda _{b}\}={\frac {4}{3}}\delta _{ab}+2\sum _{i=1}^{8}d_{abc}\lambda _{c}}$

ここで、d_abc は添え字a, b, c について、完全対称な実係数である。d_abc のうち、ゼロでないものをa < b < c を満たすもので代表させて表すと、

${\displaystyle d_{118}=d_{228}=d_{338}={\frac {1}{\sqrt {3}}}}$

${\displaystyle d_{888}=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$

${\displaystyle d_{146}=d_{157}=d_{256}=d_{344}=d_{355}={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle d_{247}=d_{366}=d_{377}=-{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}}$

SU(3)の生成子

3次特殊ユニタリ群SU(3) は行列式が１となる3×3ユニタリ行列から構成される。SU(3) は線形リー群であり、8個のゲルマン行列はその一次独立な生成子である。但し、物理学の慣習により、生成子はエルミート行列になるようにとるため、ゲルマン行列はそれ自身リー代数 𝔰𝔲(3) の元ではなく、ゲルマン行列に i=√-1 を乗じたものが 𝔰𝔲(3) の元となる。通常、SU(3)の生成子としては、λ_a の代わりに1/2 を乗じた T_a が用いられる。

${\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}}$

コンパクトで連結なリー群SU(3)の任意の元はリー環の指数写像によって

${\displaystyle e^{i\sum _{a=1}^{8}\theta _{a}T_{a}}\quad (\theta _{a}\in \mathbb {R} ,\,a=1,\cdots ,8)}$

の形で与えられる。

ゲルマン行列 λ_a、 または T_a の線形結合で張られる線形空間は交換子積

${\displaystyle [T_{a},T_{b}]=T_{a}T_{b}-T_{b}T_{a}}$

により、リー代数となり、その構造は

${\displaystyle [T_{a},T_{b}]=i\sum _{i=1}^{8}f_{abc}T_{c}}$

で定まる構造定数 f_abc で規定される^[6]。このリー代数はコンパクト・リー代数であるため、f_abc は添え字a, b, c について、完全反対称である。

{T₁,T₂,T₃}の組は、

${\displaystyle [T_{1},T_{2}]=iT_{3},\quad [T_{2},T_{3}]=iT_{1},\quad [T_{3},T_{1}]=iT_{2}}$

と交換子積について閉じており、SU(2)に対応する部分リー代数をなす。これ以外にもいくつかの組はSU(2)に対応する部分リー代数をなす。

このリー代数の全ての元と可換になるカシミヤ演算子は

${\displaystyle C_{1}=\sum _{a}T_{a}^{\,2}}$

${\displaystyle C_{2}=\sum _{a}d_{abc}T_{a}T_{b}T_{c}}$

で与えられる。

脚注

参考文献

• George B. Arfken, Hans J. Weber and Frank E. Harris, Mathematical Methods for Physicists (7th ed.) : Academic Press (2012). ISBN 978-0123846549
• H. Georgi, Lie Algebras in Particle Physics: from Isospin To Unified Theories (2nd ed.), Westview Press (1999). ISBN 978-0738202334.

関連項目

• 対称性 (物理学)
• ハドロン物理学
  • バリオン数, フレーバー, カラー
• SU(3)