関数 f(x) (青) の、二次関数 P(x) (赤)による近似。 シンプソンの公式(シンプソンのこうしき、英: Simpson's rule)とは、数値解析の分野における、数値積分の方法の一つである。定積分
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac02adeed584466d53dee65f3228ad66939eb58b)
の近似値を、関数 f(x) を二次関数で近似することによって得る。名前は、トーマス・シンプソンに因んでいる。次数2の閉じたニュートン・コーツの公式である。シンプソン則ともいう。
基本
シンプソンの公式は、f(x) を二次関数 P(x) で近似することによって導かれる。ここで、P(x) は f(x) の a, b, m における値をそれぞれとる[1]。P(x) は、ラグランジュ補間によって、次の多項式(x の二次式)になることが分かる。
![{\displaystyle P(x)=f(a){\frac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){\frac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){\frac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4f07b7fdd92e8f95241e7dc053216eee7dea6c2)
この多項式を範囲 [a, b] で積分すると、次のシンプソンの公式が得られる。
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70f1d1ac9323e612913e66df8d1df6e2ae6085c6)
シンプソンの公式による、積分の近似の誤差は、a と b の間にある ξ によって、次式で見積もれる(h の5次式)。
![{\displaystyle -{\frac {h^{5}}{90}}f^{(4)}(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb3fae8b11efc35cfcd78f0124595f4441fbd93a)
ただし、h = (b − a)/2。さらに f(x) が2回微分可能で f'' が凸関数であるとき、定積分は次の下限と上限とで抑えられる。
![{\displaystyle (b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+{\frac {1}{3}}h^{3}f''\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a8bc24391cc865d65b60be09e03c49f08912179)
合成シンプソン公式
シンプソンの公式は、積分範囲 [a, b] が十分小さい場合であれば適当な近似であることが分かる。したがって、積分範囲が大きい場合は、積分範囲を小さな部分区間に分割し、各部分区間についてシンプソンの公式を適用し、その結果を足し合わせるという方法が考えられる。この方法は、合成シンプソン公式(composite Simpson's rule)として知られている。
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+2\sum _{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+4\sum _{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_{n}){\bigg ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99fcf73a6d88e45e86eef4e7f5aabf7b89c7a92a)
ただし、n は [a, b] を等しく偶数個に分割した部分区間の個数、h = b − a/n は各部分区間の長さ、xi = a + ih (i = 0, ..., n)、特に、x0 = a, xn = b。この式は、次のようにも書ける。
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+\dotsb +4f(x_{n-1})+f(x_{n}){\bigg ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e82df9c0e432470a7e63057a21a2f8945739c95)
合成シンプソン公式に基づく最大誤差は、次式で見積もることができる。
![{\displaystyle -{\frac {h^{4}}{180}}(b-a)f^{(4)}(\xi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f7e0e45626bf0b66d666bb45eadf2338142edb)
脚注
関連記事
参考文献
- Burden, Richard L. and Faires, J. Douglas (2000). Numerical Analysis, (7th Ed). Brooks/Cole. ISBN 0534382169
外部リンク
ウィキメディア・コモンズには、シンプソンの公式に関連するカテゴリがあります。
- 『シンプソンの公式の証明と例題』 - 高校数学の美しい物語
- Weisstein, Eric W. "Simpson's Rule". mathworld.wolfram.com (英語).