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解析学 |
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微分積分学における商の法則(しょうのほうそく、英: quotient rule)は二つの可微分函数の比(商)となっている函数の導函数の計算を述べるものである[1][2][3]。
主張
具体的に g, h はともに可微分で h(x) ≠ 0 として f(x) = g(x)/h(x) と書けば、この商 f の微分は
で与えられる。
陰函数微分による証明 — f(x) = g(x)/h(x) ならば g(x) = f(x)h(x) であるから、積の法則により となり、f′ について解けば
を得る。
連鎖律による証明 — f(x) = g(x)/h(x) = g(x)⋅h(x)−1 と見れば、積の法則により であり、右辺第二項の微分は連鎖律のもとで冪の微分法則(英語版)を用いれば、結局
を得る。整理すれば
となる。
例
- f(x) ≔ tan(x) = sin(x)/cos(x) の導函数を求めるのに商の法則が利用できる:
高階版
陰函数微分を用いれば、商の n-階微分も((n −1)-階までの導函数を用いて)計算することができる。例えば、f⋅h = g を両辺二回微分して f″ について解けば
を得る。
関連項目
参考文献
- ^ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5
- ^ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (9th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-547-16702-4
- ^ Thomas, George B.; Weir, Maurice D.; Hass, Joel (2010). Thomas' Calculus: Early Transcendentals (12th ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-321-58876-2