Lijst van goniometrische gelijkheden

De goniometrische basisfuncties zijn op diverse manieren met elkaar verbonden. Dit artikel geeft een lijst met goniometrische gelijkheden.

Directe onderlinge relaties

tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x csc ⁡ x = 1 sin ⁡ x cot ⁡ x = 1 tan ⁡ x = cos ⁡ x sin ⁡ x {\displaystyle {\begin{array}{rl}\tan x=&{\cfrac {\sin x}{\cos x}}\\\sec x=&{\cfrac {1}{\cos x}}\\\csc x=&{\cfrac {1}{\sin x}}\\\cot x=&{\cfrac {1}{\tan x}}={\cfrac {\cos x}{\sin x}}\\\end{array}}}

Grondformule en afgeleiden

cos 2 ⁡ ( x ) + sin 2 ⁡ ( x ) = 1 {\displaystyle \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1}

Dit is de grondformule van de goniometrie en is gebaseerd op de stelling van Pythagoras. De tweede en derde zijn hieruit af te leiden door te delen door het kwadraat van de cosinus en sinus.

tan 2 ⁡ x + 1 = 1 cos 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x {\displaystyle \tan ^{2}x+1={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x}
cot 2 ⁡ x + 1 = 1 sin 2 ⁡ x = csc 2 ⁡ x {\displaystyle \cot ^{2}x+1={\frac {1}{\sin ^{2}x}}=\csc ^{2}x}

Periodiciteit, symmetrie en verschuivingen

sin ⁡ x = sin ⁡ ( x + 2 π ) = sin ⁡ ( π − x ) sin ⁡ x = cos ⁡ ( π 2 − x ) cos ⁡ x = cos ⁡ ( x + 2 π ) = cos ⁡ ( − x ) cos ⁡ x = sin ⁡ ( π 2 − x ) = sin ⁡ ( π 2 + x ) tan ⁡ x = tan ⁡ ( x + 2 π ) = tan ⁡ ( x + π ) tan ⁡ x = cot ⁡ ( π 2 − x ) − sin ⁡ x = sin ⁡ ( x + π ) = sin ⁡ ( − x ) − cos ⁡ x = cos ⁡ ( x + π ) = cos ⁡ ( π − x ) − tan ⁡ x = tan ⁡ ( − x ) = tan ⁡ ( π − x ) {\displaystyle {\begin{array}{rlrl}\sin x=&\sin(x+2\pi )=\sin(\pi -x)&\sin x=&\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\\\cos x=&\cos(x+2\pi )=\cos(-x)&\cos x=&\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=&\sin \left({\frac {\pi }{2}}+x\right)\\\tan x=&\tan(x+2\pi )=\tan(x+\pi )&\tan x=&\cot \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\\-\sin x=&\sin(x+\pi )=\sin(-x)&\\-\cos x=&\cos(x+\pi )=\cos(\pi -x)&\\-\tan x=&\tan(-x)=\tan(\pi -x)&\end{array}}}

Gelijkheden voor de som en het verschil van twee hoeken

sin ⁡ ( x ± y ) = sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( y ) ± cos ⁡ ( x ) sin ⁡ ( y ) cos ⁡ ( x ± y ) = cos ⁡ ( x ) cos ⁡ ( y ) ∓ sin ⁡ ( x ) sin ⁡ ( y ) tan ⁡ ( x ± y ) = tan ⁡ ( x ) ± tan ⁡ ( y ) 1 ∓ tan ⁡ ( x ) tan ⁡ ( y ) cot ⁡ ( x ± y ) = cot ⁡ ( x ) cot ⁡ ( y ) ∓ 1 cot ⁡ ( x ) ± cot ⁡ ( y ) {\displaystyle {\begin{array}{rcl}\sin(x\pm y)&=&\sin(x)\cos(y)\pm \cos(x)\sin(y)\\\cos(x\pm y)&=&\cos(x)\cos(y)\mp \sin(x)\sin(y)\\\tan(x\pm y)&=&{\cfrac {\tan(x)\pm \tan(y)}{1\mp \tan(x)\tan(y)}}\\\cot(x\pm y)&=&{\cfrac {\cot(x)\cot(y)\mp 1}{\cot(x)\pm \cot(y)}}\\\end{array}}}

Gelijkheden voor de dubbele hoek

sin ⁡ ( 2 x ) = 2 sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) = 2 tan ⁡ ( x ) 1 + tan 2 ⁡ ( x ) cos ⁡ ( 2 x ) = cos 2 ⁡ ( x ) − sin 2 ⁡ ( x ) = 2 cos 2 ⁡ ( x ) − 1 = 1 − 2 sin 2 ⁡ ( x ) = 1 − tan 2 ⁡ ( x ) 1 + tan 2 ⁡ ( x ) tan ⁡ ( 2 x ) = 2 tan ⁡ ( x ) 1 − tan 2 ⁡ ( x ) {\displaystyle {\begin{array}{rcl}\sin(2x)&=&2\sin(x)\cos(x)={\cfrac {2\tan(x)}{1+\tan ^{2}(x)}}\\\cos(2x)&=&\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)=2\cos ^{2}(x)-1=1-2\sin ^{2}(x)={\cfrac {1-\tan ^{2}(x)}{1+\tan ^{2}(x)}}\\\tan(2x)&=&{\cfrac {2\tan(x)}{1-\tan ^{2}(x)}}\\\end{array}}}

Derdehoekregel

sin ⁡ ( 3 x ) = 3 sin ⁡ ( x ) − 4 sin 3 ⁡ ( x ) cos ⁡ ( 3 x ) = 4 cos 3 ⁡ ( x ) − 3 cos ⁡ ( x ) tan ⁡ ( 3 x ) = 3 tan ⁡ ( x ) − tan 3 ⁡ ( x ) 1 − 3 tan 2 ⁡ ( x ) {\displaystyle {\begin{array}{rcl}\sin(3x)&=&3\sin(x)-4\sin ^{3}(x)\\\cos(3x)&=&4\cos ^{3}(x)-3\cos(x)\\\tan(3x)&=&{\cfrac {3\tan(x)-\tan ^{3}(x)}{1-3\tan ^{2}(x)}}\end{array}}}

Halveringsformules

Deze formules worden ook naar Carnot genoemd.

cos 2 ⁡ ( x ) = 1 2 ( 1 + cos ⁡ ( 2 x ) ) sin 2 ⁡ ( x ) = 1 2 ( 1 − cos ⁡ ( 2 x ) ) sin 2 ⁡ ( x ) cos 2 ⁡ ( x ) = 1 8 ( 1 − cos ⁡ ( 4 x ) ) {\displaystyle {\begin{array}{ccl}\cos ^{2}(x)&=&{\tfrac {1}{2}}(1+\cos(2x))\\\sin ^{2}(x)&=&{\tfrac {1}{2}}(1-\cos(2x))\\\sin ^{2}(x)\cos ^{2}(x)&=&{\tfrac {1}{8}}(1-\cos(4x))\end{array}}}

T-formules

Met de t-formules, zo genoemd vanwege de substitutie:

t = tan ⁡ ( 1 2 x ) {\displaystyle t=\tan({\tfrac {1}{2}}x)}

zijn vergelijkingen met goniometrische identiteiten in x {\displaystyle x} op te lossen door ze eerst te schrijven als functie van t {\displaystyle t} en later weer terug te transformeren naar x {\displaystyle x} . Er geldt:

tan ⁡ ( x ) = 2 t 1 − t 2 {\displaystyle \tan(x)={\frac {2t}{1-t^{2}}}}
cos ⁡ ( x ) = 1 − t 2 1 + t 2 {\displaystyle \cos(x)={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}
sin ⁡ ( x ) = 2 t 1 + t 2 {\displaystyle \sin(x)={\frac {2t}{1+t^{2}}}}

Gelijkheden voor de halve hoek

cos ⁡ ( 1 2 x ) = ± 1 + cos ⁡ x 2 sin ⁡ ( 1 2 x ) = ± 1 − cos ⁡ x 2 tan ⁡ ( 1 2 x ) = sin ⁡ ( 1 2 x ) cos ⁡ ( 1 2 x ) = ± 1 − cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x tan ⁡ ( 1 2 x ) = sin ⁡ x 1 + cos ⁡ x = 1 − cos ⁡ x sin ⁡ x = − 1 ± 1 + tan 2 ⁡ x tan ⁡ x {\displaystyle {\begin{array}{rcl}\cos \left({\tfrac {1}{2}}x\right)&=&\pm \,{\sqrt {\cfrac {1+\cos x}{2}}}\\\sin \left({\tfrac {1}{2}}x\right)&=&\pm \,{\sqrt {\cfrac {1-\cos x}{2}}}\\\tan \left({\tfrac {1}{2}}x\right)&=&{\cfrac {\sin({\tfrac {1}{2}}x)}{\cos({\tfrac {1}{2}}x)}}=\pm \,{\sqrt {\cfrac {1-\cos x}{1+\cos x}}}\\\tan \left({\tfrac {1}{2}}x\right)&=&{\cfrac {\sin x}{1+\cos x}}={\cfrac {1-\cos x}{\sin x}}={\cfrac {-1\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}{\tan x}}\\\end{array}}}

Formules van Simpson

Deze formules zijn naar Thomas Simpson genoemd.

sin ⁡ ( x ) + sin ⁡ ( y ) = 2 sin ⁡ x + y 2 cos ⁡ x − y 2 sin ⁡ ( x ) − sin ⁡ ( y ) = 2 cos ⁡ x + y 2 sin ⁡ x − y 2 cos ⁡ ( x ) + cos ⁡ ( y ) = 2 cos ⁡ x + y 2 cos ⁡ x − y 2 cos ⁡ ( x ) − cos ⁡ ( y ) = − 2 sin ⁡ x + y 2 sin ⁡ x − y 2 {\displaystyle {\begin{array}{ccrrr}\sin(x)+\sin(y)&=&2\sin {\cfrac {x+y}{2}}\cos {\cfrac {x-y}{2}}\\\sin(x)-\sin(y)&=&2\cos {\cfrac {x+y}{2}}\sin {\cfrac {x-y}{2}}\\\cos(x)+\cos(y)&=&2\cos {\cfrac {x+y}{2}}\cos {\cfrac {x-y}{2}}\\\cos(x)-\cos(y)&=&-2\sin {\cfrac {x+y}{2}}\sin {\cfrac {x-y}{2}}\\\end{array}}}

Deling van de eerste door de tweede formule geeft

sin ⁡ ( x ) + sin ⁡ ( y ) sin ⁡ ( x ) − sin ⁡ ( y ) = tan ⁡ x + y 2 tan ⁡ x − y 2 {\displaystyle {\dfrac {\sin(x)+\sin(y)}{\sin(x)-\sin(y)}}={\dfrac {\tan {\dfrac {x+y}{2}}}{\tan {\dfrac {x-y}{2}}}}}

Omgekeerde formules van Simpson

cos ⁡ ( x ) cos ⁡ ( y ) = cos ⁡ ( x − y ) + cos ⁡ ( x + y ) 2 sin ⁡ ( x ) sin ⁡ ( y ) = cos ⁡ ( x − y ) − cos ⁡ ( x + y ) 2 sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( y ) = sin ⁡ ( x − y ) + sin ⁡ ( x + y ) 2 {\displaystyle {\begin{array}{ccc}\cos(x)\cos(y)&=&{\cfrac {\cos(x-y)+\cos(x+y)}{2}}\\\sin(x)\sin(y)&=&{\cfrac {\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}}\\\sin(x)\cos(y)&=&{\cfrac {\sin(x-y)+\sin(x+y)}{2}}\\\end{array}}}

Nog twee merkwaardige gelijkheden

sin ⁡ ( x ) + sin ⁡ ( y ) + sin ⁡ ( z ) − sin ⁡ ( x + y + z ) = 4 sin ⁡ y + z 2 sin ⁡ z + x 2 sin ⁡ x + y 2 {\displaystyle \sin(x)+\sin(y)+\sin(z)-\sin(x+y+z)=4\sin {\dfrac {y+z}{2}}\sin {\dfrac {z+x}{2}}\sin {\dfrac {x+y}{2}}}
cos ⁡ ( x ) + cos ⁡ ( y ) + cos ⁡ ( z ) + cos ⁡ ( x + y + z ) = 4 cos ⁡ y + z 2 cos ⁡ z + x 2 cos ⁡ x + y 2 {\displaystyle \cos(x)+\cos(y)+\cos(z)+\cos(x+y+z)=4\cos {\dfrac {y+z}{2}}\cos {\dfrac {z+x}{2}}\cos {\dfrac {x+y}{2}}}