Voortbrengen (algebra en lineaire algebra)

Voortbrengen is een term die in verschillende deelgebieden van de wiskunde gebruikt wordt. In het algemeen brengt een verzameling elementen een bepaalde structuur voort als die structuur de kleinste is die de gegeven verzameling omvat.

Algebra

In de algebra zegt men dat een groep ${\displaystyle H}$ voortgebracht wordt door een deelverzameling ${\displaystyle V}$ van een groep ${\displaystyle G}$, als ${\displaystyle H}$ de kleinste ondergroep van ${\displaystyle G}$ is die de verzameling ${\displaystyle V}$ omvat. Er bestaat altijd zo'n kleinste ondergroep, het is namelijk de doorsnede van alle ondergroepen van ${\displaystyle G}$ die ${\displaystyle V}$ omvatten. Men noemt ${\displaystyle V}$ een genererende verzameling van ${\displaystyle H.}$

Lineaire algebra

Zie Lineair omhulsel voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Binnen de lineaire algebra zegt men dat een stelsel vectoren ${\displaystyle S}$ uit een vectorruimte ${\displaystyle V}$ de deelruimte ${\displaystyle U}$ van ${\displaystyle V}$ voortbrengt, als ${\displaystyle U}$ bestaat uit alle lineaire combinaties van de vectoren in ${\displaystyle S,}$

Men noemt ${\displaystyle U}$ de lineaire deelruimte die wordt voortgebracht door ${\displaystyle S,}$, of erdoor wordt opgespannen, en noteert:

${\displaystyle U=\mathrm {span} (S).}$

In het geval dat ${\displaystyle S=\{v_{1},\ldots ,v_{m}\}}$ eindig is, zegt men ook:

${\displaystyle U=\mathrm {span} (S)=\mathrm {span} (v_{1},\ldots ,v_{m}).}$

De door ${\displaystyle S}$ voortgebrachte ruimte ${\displaystyle U}$ wordt het lineair omhulsel van ${\displaystyle S}$ genoemd.

Als het genoemde stelsel vectoren ${\displaystyle S}$ lineair onafhankelijk is, dan is ${\displaystyle S}$ een basis van de voortgebrachte deelruimte ${\displaystyle U.}$

Meer algemeen geldt: als de vectorruimte ${\displaystyle U}$ wordt voortgebracht door het stelsel ${\displaystyle S}$, dan bevat ${\displaystyle S}$ een basis van ${\displaystyle U.}$

De door ${\displaystyle S}$ voortgebrachte ruimte ${\displaystyle U}$ verandert niet

• als men aan ${\displaystyle S}$ een vector uit ${\displaystyle U}$ toevoegt;
• als men een vector uit ${\displaystyle S}$ die een lineaire combinatie is van de overige vectoren uit ${\displaystyle S}$, weglaat;
• als men in ${\displaystyle S}$ een vector vermenigvuldigt met een van nul verschillend getal (scalair);
• als men bij een vector uit ${\displaystyle S}$, een andere vector uit ${\displaystyle S}$ optelt.