Aritmetikkens fundamentalteorem

Aritmetikkens fundamentalteorem er et teorem i tallteori som sier at ethvert naturlig tall større enn 1 kan skrives som et entydig produkt av primtall. For eksempel er:

${\displaystyle 36=2^{2}\times 3^{2}}$

${\displaystyle 6936=2^{3}\times 3\times 17^{2}}$

Det eksister ingen annen måte å faktorisere disse tallene på, og den gitte faktoriseringen kalles primtallsfaktoriseringen. Dette betyr at primtallene kan ses på som en type «byggesteiner», som alle de andre heltallene består av. Siden multiplikasjon er kommutativ, spiller det ingen rolle hvilken faktor som skrives først. Som regel skriver man fra de minste til høyeste.

Anvendelser

Aritmetikkens fundamentalteorem, og det faktum at alle naturlige tall er bygd opp av primtall, har gjort at matematikere opp gjennom tidene har vært svært opptatt av nettopp primtall. Dette teoremet viser hvor viktige primtallene er.

Kjenner man primtallsfaktorisingen til et gitt tall, så er det lett å finne største felles nevner og minste felles multiplum. Eksempelvis er største felles nevner til tallene over

${\displaystyle 2^{2}\times 3=12}$.

Dersom primtallsfaktoriseringen ikke er kjent, så er det som regel raskere å bruke Euklids algoritme for å finne største felles nevner.

Bevis

Vi skal vise at enhvert naturlig tall ${\displaystyle n>1}$ på en entydig måte kan skrives som produktet av primtall (om man ser bort i fra rekkefølgen faktorene skrives i). Vi beviser først at man kan skrive et vilkårlig tall på denne måten. Etterpå beviser vi at denne representasjonen er entydig.

Enten er ${\displaystyle n}$ et primtall eller ikke. Hvis ${\displaystyle n}$ er et primtall så er det ikke noe mer å bevise. Om ${\displaystyle n}$ ikke er noe primtall, så finnes det et heltall ${\displaystyle d}$ som deler ${\displaystyle n}$, hvor ${\displaystyle 1<d<n}$. Blant alle slike ${\displaystyle d}$, velg ${\displaystyle p_{1}}$ som det minste. Da må ${\displaystyle p_{1}}$ våre et primtall. Ellers ville også det tallet hatt en divisor ${\displaystyle q}$ hvor ${\displaystyle 1<q<p_{1}}$, noe som motsier at ${\displaystyle q_{1}}$ er det minste tallet som deler ${\displaystyle n}$.

Vi kan dermed skrive ${\displaystyle n=p_{1}n_{1}}$. Hvis ${\displaystyle n_{1}}$ er et primtall er det ikke mer å bevise. Hvis ikke kan vi gjenta argumentasjonen og produsere et nytt primtall ${\displaystyle p_{2}}$ slik at ${\displaystyle n=p_{1}p_{2}n_{2}}$.

Dette kan vi fortsette med lenge, men ${\displaystyle n>n_{1}>n_{2}\cdots >1}$ kan ikke fortsette evig, så til slutt vil ${\displaystyle n_{k-1}}$ være et primtall vi kan kalle ${\displaystyle p_{k}}$.

For å bevise at denne representasjonen er unik, anta at ${\displaystyle n}$ kan skrives som produktet av primtall på to måter, la oss si ${\displaystyle n=p_{1}p_{2}\cdots p_{r}=q_{1}q_{2}\cdots q_{s}}$, der ${\displaystyle r\leq s}$, og ${\displaystyle p_{i}}$ og ${\displaystyle q_{j}}$ er primtall skrevet i stigende rekkefølge slik at ${\displaystyle p_{1}\leq p_{2}\leq \cdots \leq p_{r}}$ og ${\displaystyle q_{1}\leq q_{2}\leq \cdots \leq q_{s}}$.

Fordi ${\displaystyle p_{1}}$ deler ${\displaystyle q_{1}q_{2}\cdots q_{s}}$ må ${\displaystyle p_{1}=q_{k}}$ for en eller annen ${\displaystyle k}$. Men da er ${\displaystyle p_{1}\geq q_{1}}$. Om vi argumenterer på lignende måte får vi også at ${\displaystyle q_{1}\geq p_{1}}$, og dermed at ${\displaystyle p_{1}=q_{1}}$. Om vi gjentar denne prosessen får vi at ${\displaystyle p_{2}=q_{2}}$, altså at ${\displaystyle p_{3}p_{4}\cdots p_{r}=q_{3}q_{4}\cdots q_{s}}$. Om ${\displaystyle r<s}$ får vi at ${\displaystyle 1=q_{r+1}q_{r+2}\cdots q_{s}}$, noe som er absurd, og dermed er ${\displaystyle r=s}$, og ${\displaystyle p_{1}=q_{1}}$, ${\displaystyle p_{2}=q_{2}\cdots p_{r}=q_{r}}$, noe som gjør de to faktoriseringene identiske. Beviset er dermed fullført.

Litteratur

• David M. Burton (2007). Elementary Number Theory. McGrav - Hill. ISBN 007-124425-5.