Arytmetyka liczb kardynalnych

Arytmetyka liczb kardynalnych – dział teorii mnogości zajmujący się liczbami kardynalnymi i działaniami na nich.

Arytmetyka liczb kardynalnych znacznie różni się od arytmetyki liczb rzeczywistych – zarówno rozważane działania mają inne własności, jak i stawiane pytania są inne. Podstawową różnicą jest jednak fakt, że wiele stwierdzeń dotyczących działań na liczbach kardynalnych jest niezależnych od standardowych aksjomatów teorii mnogości (aksjomaty Zermela-Fraenkla).

W dalszej części tego artykułu zakładamy aksjomaty Zermela-Fraenkla (bez aksjomatu wyboru niektóre z definicji należy sformułować inaczej i wiele z prezentowanych faktów nie jest prawdziwych).

Definicje

Pojęcia wstępne

• Liczba porządkowa ${\displaystyle \alpha }$ jest początkową liczbą porządkową jeśli ${\displaystyle \alpha }$ nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Początkowe liczby porządkowe nazywamy liczbami kardynalnymi.
• Przy założeniu teorii ZFC każdy zbiór A jest równoliczny z pewną liczbą kardynalną – liczba ta jest nazywana mocą zbioru A i jest oznaczana przez ${\displaystyle |A|.}$
• Skończone liczby kardynalne to liczby naturalne: 0, 1, 2, ..., a najmniejsza nieskończona liczba kardynalna to ${\displaystyle \aleph _{0},}$ moc zbioru wszystkich liczb naturalnych.
• Współkońcowość nieskończonej liczby kardynalnej ${\displaystyle \kappa }$ to najmniejsza liczba kardynalna ${\displaystyle \mu }$ taka, że każdy zbiór mocy ${\displaystyle \kappa }$ może być przedstawiony jako suma ${\displaystyle \mu }$ wielu zbiorów mocy mniejszej niż ${\displaystyle \kappa {:}}$

${\displaystyle \mathrm {cf} (\kappa )=\min\{\mu \in {\mathbf {CN} }:\kappa =\bigcup \limits _{\alpha <\mu }A_{\alpha }}$ dla pewnych zbiorów ${\displaystyle A_{\alpha }\subseteq \kappa }$ takich, że ${\displaystyle |A_{\alpha }|<\kappa }$ (dla wszystkich ${\displaystyle \alpha <\mu }$) ${\displaystyle \}.}$

Jeśli ${\displaystyle \mathrm {cf} (\kappa )=\kappa }$ to mówimy że ${\displaystyle \kappa }$ jest regularną liczbą kardynalną. Liczby kardynalne które nie są regularne nazywamy liczbami singularnymi.

• Następnik liczby kardynalnej ${\displaystyle \kappa }$ to pierwsza liczba kardynalna większa od ${\displaystyle \kappa }$ (jest on oznaczany przez ${\displaystyle \kappa ^{+}}$).

Działania dwuargumentowe

Określamy następujące działania dwuargumentowe na liczbach kardynalnych. Niech ${\displaystyle \kappa ,\mu }$ będą liczbami kardynalnymi.

• Dodawanie liczb kardynalnych – sumą liczb ${\displaystyle \kappa }$ i ${\displaystyle \mu }$ nazywamy moc sumy rozłącznych kopii ${\displaystyle \mu }$ i ${\displaystyle \kappa {:}}$

${\displaystyle \mu +\kappa =|(\mu \times \{0\})\cup (\kappa \times \{1\})|.}$

• Mnożenie liczb kardynalnych – iloczynem liczb ${\displaystyle \kappa }$ i ${\displaystyle \mu }$ nazywamy moc iloczynu kartezjańskiego zbiorów ${\displaystyle \kappa }$ i ${\displaystyle \mu {:}}$

${\displaystyle \kappa \cdot \mu =\vert \kappa \times \mu \vert .}$

• Potęgowanie liczb kardynalnych – przez ${\displaystyle \kappa ^{\mu }}$ rozumiemy moc zbioru wszystkich funkcji z ${\displaystyle \mu }$ w ${\displaystyle \kappa {:}}$

${\displaystyle \kappa ^{\mu }=|{}^{\mu }\kappa |.}$

• Definiujemy również słabą potegę ${\displaystyle \kappa ^{<\mu }}$ jako

${\displaystyle \kappa ^{<\mu }=\sup\{\kappa ^{\lambda }:\lambda \in {\mathbf {CN} }\ \wedge \ \lambda <\mu \}.}$

Działania nieskończone

Niech ${\displaystyle \{\kappa _{i}:i\in I\}}$ będzie rodziną indeksowaną liczb kardynalnych. Określamy

sumę ${\displaystyle \sum \limits _{i\in I}\kappa _{i}=\left|\bigcup \{\kappa _{i}\times \{i\}:i\in I\}\right|}$ oraz

produkt ${\displaystyle \prod \limits _{i\in I}\kappa _{i}=\left|\left\{f:f:I\longrightarrow \bigcup \limits _{i\in I}\kappa _{i}\ \wedge \ (\forall i\in I)(f(i)\in \kappa _{i})\right\}\right|.}$

Przykłady wyników klasycznych

• Dla każdych niezerowych liczb kardynalnych ${\displaystyle \kappa ,\mu ,\lambda }$ mamy:

1. Jeśli ${\displaystyle \aleph _{0}\leqslant \kappa ,}$ to ${\displaystyle \kappa +\mu =\max(\kappa ,\mu )=\kappa \cdot \mu .}$
2. Jeśli ${\displaystyle 1\leqslant \kappa \leqslant \mu ,}$ to ${\displaystyle \kappa ^{\lambda }\leqslant \mu ^{\lambda }}$ oraz ${\displaystyle \lambda ^{\kappa }\leqslant \lambda ^{\mu }.}$
3. Jeśli ${\displaystyle 1<\kappa <\aleph _{0}\leqslant \lambda ,}$ to ${\displaystyle \kappa ^{\lambda }=\lambda ^{\lambda }}$ oraz ${\displaystyle \lambda ^{\kappa }=\lambda .}$
4. ${\displaystyle 2^{\kappa }}$ jest mocą rodziny wszystkich podzbiorów ${\displaystyle \kappa .}$ Jeśli ${\displaystyle 2\leqslant \mu \leqslant \kappa }$ oraz ${\displaystyle \kappa }$ jest nieskończona, to ${\displaystyle \kappa ^{\mu }=\left|\left\{A\subseteq \kappa :|A|=\mu \right\}\right|}$ oraz ${\displaystyle \kappa ^{<\mu }=\left|\left\{A\subseteq \kappa :|A|<\mu \right\}\right|.}$
5. ${\displaystyle (\kappa ^{\mu })^{\lambda }=\kappa ^{\mu \cdot \lambda },}$ ${\displaystyle \kappa ^{\mu }\cdot \kappa ^{\lambda }=\kappa ^{\mu +\lambda },}$ i ${\displaystyle (\kappa \cdot \mu )^{\lambda }=\kappa ^{\lambda }\cdot \mu ^{\lambda }}$
6. Jeśli ${\displaystyle \kappa ,\mu }$ są nieskończone, to ${\displaystyle (\kappa ^{+})^{\mu }=\kappa ^{+}\cdot \kappa ^{\mu }}$ (twierdzenie Hausdorffa).
7. Jeśli ${\displaystyle \kappa }$ jest nieskończone, to ${\displaystyle \kappa <\kappa ^{\mathrm {cf} (\kappa )}}$ oraz ${\displaystyle \kappa <\mathrm {cf} (2^{\kappa }).}$

• Przypuśćmy, że ${\displaystyle \{\kappa _{i}:i\in I\},}$ ${\displaystyle \{\mu _{i}:i\in I\}}$ są rodzinami niezerowych liczb kardynalnych, ${\displaystyle I\neq \emptyset .}$

1. ${\displaystyle \sum \limits _{i\in I}\kappa _{i}=\max \left(|I|,\sup\{\kappa _{i}:i\in I\}\right).}$ Jeśli więc ${\displaystyle |I|\leqslant \sup\{\kappa _{i}:i\in I\}}$ to ${\displaystyle \sum \limits _{i\in I}\kappa _{i}=\sup\{\kappa _{i}:i\in I\}.}$ Ostatnia równość zachodzi w szczególności gdy ${\displaystyle \kappa _{i}\neq \kappa _{j}}$ dla różnych ${\displaystyle i,j\in I.}$
2. Jeśli ${\displaystyle \kappa _{i}<\mu _{i}}$ dla wszystkich ${\displaystyle i\in I,}$ to ${\displaystyle \sum \limits _{i\in I}\kappa _{i}<\prod \limits _{i\in I}\mu _{i}}$ (twierdzenie Königa).

GCH i SCH

• Uogólniona hipoteza continuum (GCH) to zdanie stwierdzające, że dla każdej liczby kardynalnej ${\displaystyle \kappa }$ zachodzi ${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{+}}$. Przy założeniu GCH arytmetyka kardynalna bardzo się upraszcza:

Załóżmy GCH. Wówczas dla każdych liczb kardynalnych ${\displaystyle \kappa \geqslant 2}$ oraz ${\displaystyle \lambda \geqslant \aleph _{0}}$ mamy

${\displaystyle \kappa }$

jeśli

${\displaystyle \lambda <\mathrm {cf} (\kappa ),}$

${\displaystyle \kappa }$

jeśli

${\displaystyle \lambda \leqslant \mathrm {cf} (\kappa ),}$

${\displaystyle \kappa ^{\lambda }=}$

${\displaystyle \kappa ^{+}}$

jeśli

${\displaystyle \mathrm {cf} (\kappa )\leqslant \lambda <\kappa ,}$

oraz

${\displaystyle \kappa ^{<\lambda }=}$

${\displaystyle \kappa ^{+}}$

jeśli

${\displaystyle \mathrm {cf} (\kappa )<\lambda \leqslant \kappa ^{+},}$

${\displaystyle \lambda ^{+}}$

jeśli

${\displaystyle \kappa \leqslant \lambda ,}$

${\displaystyle \lambda }$

jeśli

${\displaystyle \kappa ^{+}<\lambda .}$

• Hipoteza liczb singularnych (ang. singular cardinal hypothesis, SCH) to zdanie stwierdzające, że dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej ${\displaystyle \kappa ,}$ jeśli ${\displaystyle 2^{\mathrm {cf} (\kappa )}<\kappa }$ to ${\displaystyle \kappa ^{\mathrm {cf} (\kappa )}=\kappa ^{+}}$. Przy założeniu SCH, potęgi liczb kardynalnych są wyznaczone przez funkcję ${\displaystyle \kappa \mapsto 2^{\kappa }.}$

Załóżmy SCH. Wówczas dla każdych nieskończonych liczb kardynalnych ${\displaystyle \kappa ,\lambda }$ mamy

			${\displaystyle \kappa }$		jeśli		${\displaystyle 2^{\lambda }<\kappa }$ oraz ${\displaystyle \lambda <\mathrm {cf} (\kappa ),}$
	${\displaystyle \kappa ^{\lambda }=}$		${\displaystyle \kappa ^{+}}$		jeśli		${\displaystyle 2^{\lambda }<\kappa }$ oraz ${\displaystyle \mathrm {cf} (\kappa )\leqslant \lambda ,}$
			${\displaystyle 2^{\lambda }}$		jeśli		${\displaystyle \kappa \leqslant 2^{\lambda }.}$

Ponadto, jeśli ${\displaystyle \kappa }$ jest liczbą singularną to

(a) jeśli dla pewnej liczby kardynalnej ${\displaystyle \mu <\kappa }$ mamy iż ${\displaystyle (\forall \lambda \in [\mu ,\kappa ))(2^{\lambda }=2^{\mu }),}$ to ${\displaystyle 2^{\kappa }=2^{<\kappa },}$

(b) jeśli założenie punktu (a) nie jest spełnione, to ${\displaystyle 2^{\kappa }=\left(2^{<\kappa }\right)^{+}.}$

• Warto zauważyć, że GCH jest niezależne od ZFC (czyli nie można tego zdania udowodnić, ale nie można też udowodnić jego zaprzeczenia). Łatwo można się przekonać, że GCH implikuje SCH. Ciekawym^{[według kogo?]} wynikiem odkrytym^{[przez kogo?]} niedawno^[kiedy?] jest, że PFA również implikuje SCH. Naruszenia SCH związane są z dużymi liczbami kardynalnymi.

Przykłady wyników zaawansowanych

• Rozwijając metodę forsingu, w 1970 roku William Easton^[1] udowodnił następujące twierdzenie. Przypuśćmy, że F jest rosnącą funkcją określoną na wszystkich regularnych liczbach kardynalnych której wartościami są nieskończone liczby kardynalne i taką, że ${\displaystyle \kappa <\mathrm {cf} ({\mathbf {F} }(\kappa ))}$ dla wszystkich regularnych ${\displaystyle \kappa .}$ Wówczas (przy założeniu, że ZFC jest niesprzeczne) jest niesprzecznym z ZFC, że ${\displaystyle 2^{\kappa }={\mathbf {F} }(\kappa )}$ dla wszystkich regularnych liczb kardynalnych ${\displaystyle \kappa .}$
• Jeśli ${\displaystyle \kappa }$ jest liczbą mierzalną oraz ${\displaystyle 2^{\lambda }=\lambda ^{+}}$ dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej ${\displaystyle \lambda <\kappa ,}$ to również ${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{+}.}$
• Jeśli zbiór ${\displaystyle \{\alpha <\omega _{1}:\aleph _{\alpha }^{\aleph _{1}}<\aleph _{\alpha +\alpha }\}}$ jest stacjonarny w ${\displaystyle \omega _{1},}$ to ${\displaystyle \aleph _{\omega _{1}}^{\aleph _{1}}<\aleph _{\omega _{1}+\omega _{1}}.}$
• Jeśli ${\displaystyle \aleph _{1}\leqslant \mathrm {cf} (\kappa )<\kappa }$ oraz zbiór ${\displaystyle \{\mu <\kappa :2^{\mu }=\mu ^{+}\}}$ jest stacjonarny w ${\displaystyle \kappa ,}$ to ${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{+}.}$
• W latach 90. XX wieku Saharon Szelach^[2] rozwinął teorię PCF, która stała się jednym z głównych kierunków badań we współczesnej arytmetyce liczb kardynalnych. Wyniki tej teorii wykazują, że pomimo dużej kolekcji twierdzeń niezależnościowych, wciąż można dowieść wielu twierdzeń w ZFC, o ile zadajemy właściwe pytania. Z wyników teorii pcf można wywnioskować nowe prawa klasycznej arytmetyki liczb kardynalnych, np. że ${\displaystyle \aleph _{\omega }^{\aleph _{0}}\leqslant 2^{\aleph _{0}}+\aleph _{\omega _{4}}.}$
• W głębszym zrozumieniu arytmetyki liczb kardynalnych pomoże książka Wojciecha Guzickiego i Pawła Zbierskiego^[3] lub monografia Thomasa Jecha^[4] lub monografia M. Holza, K. Steffensa i E. Weitza^[5]

Przypisy