Kryterium stabilności Hurwitza

 Zasugerowano, aby zintegrować ten artykuł z artykułem twierdzenie Hurwitza (dyskusja). Nie opisano powodu propozycji integracji.
Ten artykuł dotyczy kryterium Adolfa Hurwitza z dziedziny algebry, znajdującego zastosowanie w automatyce. Zobacz też: kryterium Hurwicza (Leonida Hurwicza) z dziedziny teorii decyzji.

Kryterium stabilności Hurwitza – metoda pozwalająca określić stabilność układu regulacji na podstawie równania charakterystycznego układu

a n λ n + a n − 1 λ n − 1 + … + a 1 λ + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\ldots +a_{1}\lambda +a_{0}=0}

o współczynnikach a i {\displaystyle a_{i}} rzeczywistych.

Z punktu widzenia algebry kryterium Hurwitza pozwala sprawdzić, czy wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s , {\displaystyle s,} co pociąga za sobą stabilność układu. Na potrzeby kryterium wykorzystuje się ciąg wyznaczników, utworzonych ze współczynników równania charakterystycznego:

Δ 1 = | a n − 1 | {\displaystyle \Delta _{1}={\begin{vmatrix}a_{n-1}\end{vmatrix}}}
Δ 2 = | a n − 1 a n a n − 3 a n − 2 | {\displaystyle \Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{n-1}&a_{n}\\a_{n-3}&a_{n-2}\end{vmatrix}}}
Δ 3 = | a n − 1 a n 0 a n − 3 a n − 2 a n − 1 a n − 5 a n − 4 a n − 3 | {\displaystyle \Delta _{3}={\begin{vmatrix}a_{n-1}&a_{n}&0\\a_{n-3}&a_{n-2}&a_{n-1}\\a_{n-5}&a_{n-4}&a_{n-3}\end{vmatrix}}}
… {\displaystyle \dots }
Δ n = | a n − 1 a n 0 … 0 a n − 3 a n − 2 a n − 1 … 0 a n − 5 a n − 4 a n − 3 … 0 … … … … … 0 0 0 0 a 0 | . {\displaystyle \Delta _{n}={\begin{vmatrix}a_{n-1}&a_{n}&0&\dots &0\\a_{n-3}&a_{n-2}&a_{n-1}&\dots &0\\a_{n-5}&a_{n-4}&a_{n-3}&\dots &0\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\0&0&0&0&a_{0}\end{vmatrix}}.}

Aby układ regulacji był asymptotycznie stabilny muszą zostać spełnione następujące warunki:

  1. Wszystkie współczynniki równania charakterystycznego a i > 0 {\displaystyle a_{i}>0} dla i = 0 , 1 , … , n . {\displaystyle i=0,1,\dots ,n.}
  2. Wszystkie podwyznaczniki (minory) Δ 1 , Δ 2 , … , Δ ( n − 1 ) {\displaystyle \Delta _{1},\Delta _{2},\dots ,\Delta _{(}n-1)} są większe od zera.

W przeciwnym razie układ jest niestabilny. Jeśli jednak któryś z podwyznaczników jest równy zeru, a pozostałe warunki są spełnione, to układ znajduje się na granicy stabilności.

Zbliżonym kryterium jest kryterium stabilności Routha, które dodatkowo pozwala na określenie liczby pierwiastków badanego równania odpowiednio o ujemnych, dodatnich i zerowych częściach rzeczywistych.

Zobacz też

  • macierz Hurwitza
  • twierdzenie Charitonowa
  • wielomian stabilny

Bibliografia

  • Krystyna Szacka: Teoria układów dynamicznych. Warszawa: Oficyna wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 1995, s. 123–133. ISBN 83-86569-15-8.
  • Arczewski Krzysztof, Pietrucha Józef, Szuster Jan Tomasz: Drgania układów fizycznych. Warszawa: Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 2008. ISBN 978-83-7207-748-6.