Operator pędu

Operator pędu – jeden z operatorów wprowadzanych przez mechanikę kwantową; wartości własne tego operatora określają możliwe wartości pędu cząstki czy układu cząstek. Matematycznie, operator pędu jest operatorem hermitowskim (samosprzężonym) zdefiniowanym na przestrzeni Hilberta.

Reprezentacja pędowa operatora pędu

Operator pędu p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} definiuje się następująco: działając na stan własny | p ⟩ {\displaystyle |p\rangle } operator ten daje ten sam stan mnożony przez liczbę p , {\displaystyle p,} zwaną wartością własną

p ^ | p ⟩ = p | p ⟩ . {\displaystyle {\hat {p}}|p\rangle =p|p\rangle .}

Rozwiązanie powyższego równania w bazie wektorów własnych operatora położenia prowadzi do zależności

p ( x ) = ⟨ x | p ⟩ = 1 2 π ℏ exp ⁡ ( i ℏ p x ) . {\displaystyle p(x)=\langle x|p\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\exp \left({\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}px\right).}

Funkcja ta nie jest jednak całkowalna w kwadracie, gdyż

∫ − ∞ ∞ p ( x ) ∗ p ( x ) d x = + ∞ . {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }p(x)^{*}p(x)\mathrm {d} x=+\infty .}

Według ścisłych wymogów matematycznych operator pędu nie jest dobrze zdefiniowany. Jednak pomija się wymóg całkowalności w kwadracie i traktuje wielkości | p ⟩ {\displaystyle |p\rangle } jako wektory własne operatorów pędu. Przy tych założeniach zbiór wszystkich wektorów | p ⟩ {\displaystyle |p\rangle } może być traktowany jak baza ortonormalna, przy czym iloczyn skalarny dowolnych wektorów | p ′ ⟩ , | p ⟩ {\displaystyle |p'\rangle ,|p\rangle } spełnia zależność

⟨ p ′ | p ⟩ = δ ( p − p ′ ) , {\displaystyle \langle p'|p\rangle =\delta (p-p'),}

gdzie δ {\displaystyle \delta } – delta Diraca.

(Ściśle wektory | p ⟩ {\displaystyle |p\rangle } nie tworzą bazy przestrzeni Hilberta funkcji L 2 ( R ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}(\mathbb {R} )} całkowalnych z kwadratem, gdyż przestrzeń taka jest ośrodkowa, co sprawia, że każda baza ortonormalna musi być przeliczalna, zaś zbiór { | p ⟩ | p ∈ R } {\displaystyle \{|p\rangle |p\in \mathbb {R} \}} jest zbiorem nieprzeliczalnym. Ignorowanie tego faktu nie prowadzi zazwyczaj do nieprawdziwych wniosków. Jednak każde obliczenia, w których traktuje się | p ⟩ {\displaystyle |p\rangle } jako wektory bazy ortonormalnej, wymagają szczególnej ostrożności).

Dowolny stan | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } przestrzeni Hilberta możemy teraz rozłożyć w bazie wektorów własnych następująco

| ψ ⟩ = 1 2 π ℏ ∫ − ∞ ∞ d p ′ | p ′ ⟩ ⟨ p ′ | ψ ⟩ . {\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p'|p'\rangle \langle p'|\psi \rangle .}

Wielkość ψ ( p ′ ) ≡ ⟨ p ′ | ψ ⟩ {\displaystyle \psi (p')\equiv \langle p'|\psi \rangle } jest funkcją falową stanu | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } w reprezentacji pędowej, odpowiadającą wartości pędu p ′ . {\displaystyle p'.}

Korzystając z bazy { | p ′ ⟩ } {\displaystyle \{|p'\rangle \}} wektorów własnych działanie danego operatora p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} na stan | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } możemy obliczyć następująco:

p ^ | ψ ⟩ ≡ | ψ ′ ⟩ = p ^   1 2 π ℏ ∫ − ∞ ∞ d p ′   | p ′ ⟩ ⟨ p ′ | ψ ⟩ = 1 2 π ℏ ∫ − ∞ ∞ d p ′   p ^ | p ′ ⟩ ⟨ p ′ | ψ ⟩ = 1 2 π ℏ ∫ − ∞ ∞ d p ′   p ′ | p ′ ⟩ ⟨ p ′ | ψ ⟩ = ∫ − ∞ ∞ d p ′   1 2 π ℏ   ⟨ p ′ | ψ ⟩   p ′ | p ′ ⟩ . {\displaystyle {\hat {p}}|\psi \rangle \equiv |\psi '\rangle ={\hat {p}}\ {\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p'\ |p'\rangle \langle p'|\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p'\ {\hat {p}}|p'\rangle \langle p'|\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p'\ p'|p'\rangle \langle p'|\psi \rangle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p'\ \mathrm {\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}} \ \langle p'|\psi \rangle \ p'|p'\rangle .}

Stan | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } pod wpływem działania operatora p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} przechodzi więc w inny stan | ψ ′ ⟩ , {\displaystyle |\psi '\rangle ,} który jest sumą (całką) po stanach | p ′ ⟩ {\displaystyle |p'\rangle } z amplitudami 1 2 π ℏ p ′ ⟨ p ′ | ψ ⟩ . {\displaystyle {\frac {1}{2\pi \hbar }}p'\langle p'|\psi \rangle .} Oznacza to, że np. wykonując pomiar pędu cząstki znajdującej się w stanie | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } otrzyma się wartość pędu p ′ {\displaystyle p'} z gęstością prawdopodobieństwa

P ( p ′ ) = | 1 2 π ℏ ⟨ p ′ | ψ ⟩ | 2 . {\displaystyle P(p')=\left|{\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\langle p'|\psi \rangle \right|^{2}.}

Reprezentacja położeniowa operatora pędu

1) Powyżej podany wzór p ^ | p ⟩ = p | p ⟩ {\displaystyle {\hat {p}}|p\rangle =p|p\rangle } oznacza, że działanie składowej p ^ i , i = x , y , z {\displaystyle {\hat {p}}_{i},i=x,y,z} operatora pędu zapisanej w reprezentacji pędowej odpowiada po prostu na mnożeniu funkcji falowej przez p i . {\displaystyle p_{i}.}

2) W reprezentacji położeniowej składowa p ^ i {\displaystyle {\hat {p}}_{i}} operatora pędu ma postać

p ^ i = − i ℏ ∂ ∂ x i . {\displaystyle {\hat {p}}_{i}=-\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}.}

3) Wektorowy operator pędu p ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {p}}}} definiuje się jako wektor utworzony z operatorów p ^ i , {\displaystyle {\hat {p}}_{i},} tj.

p ^ = [ p ^ x , p ^ y , p ^ z ] . {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {p}}}=[{\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{z}].}

Wektor ten w reprezentacji położeniowej ma więc postać:

p ^ = − i ℏ ∇ , {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {p}}}=-\mathrm {i} \hbar {\nabla },}

gdzie:

∇ = [ ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ] {\displaystyle \nabla =\left[{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right]}

jest operatorem nabla (gradientu).

Relacja komutacyjna operatorów położenia i pędu

Ważną cechą kwantowego operatora pędu jest to, że nie komutuje on z operatorem położenia. Operatory te spełniają relację komutacyjną

[ x ^ i , p ^ j ] = i ℏ δ i j . {\displaystyle [{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=\mathrm {i} \hbar \delta _{ij}.}

Powyższa zależność jest matematycznym zapisem zasady nieoznaczoności. Implikuje ona, że przynajmniej jeden z operatorów x ^ i , p ^ i {\displaystyle {\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{i}} musi być operatorem nieograniczonym.

Zobacz też