Topologia podprzestrzeni

Topologia podprzestrzeni – topologia określona na podzbiorze danej przestrzeni topologicznej, nazywanym wtedy podprzestrzenią, za pomocą naturalnie odziedziczonej z przestrzeni wyjściowej topologii. Topologię podprzestrzeni nazywa się też topologią śladową, relatywną lub indukowaną.

Definicja formalna

Niech ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} będzie przestrzenią topologiczną, zaś Y {\displaystyle Y} będzie podzbiorem zbioru X . {\displaystyle X.} Topologia podprzestrzeni Y {\displaystyle Y} indukowana z przestrzeni X {\displaystyle X} to rodzina τ Y = { U ∩ Y : U ∈ τ } . {\displaystyle \tau _{Y}=\{U\cap Y:U\in \tau \}.}

Łatwo się sprawdza że ( Y , τ Y ) {\displaystyle (Y,\tau _{Y})} jest przestrzenią topologiczną. Często zamiast mówić Y {\displaystyle Y} z topologią podprzestrzeni X {\displaystyle X} mówi się po prostu podprzestrzeń Y {\displaystyle Y} .

Przykłady

  • Jeśli w zbiorze liczb rzeczywistych R {\displaystyle \mathbb {R} } z topologią naturalną rozważymy zbiór liczb naturalnych N {\displaystyle \mathbb {N} } z topologią podprzestrzeni, to stanie się on przestrzenią dyskretną. Natomiast zbiór liczb wymiernych Q {\displaystyle \mathbb {Q} } z topologią podprzestrzeni nie jest przestrzenią dyskretną – ta przestrzeń nie ma nawet punktów izolowanych.
  • Jeśli X = R {\displaystyle X=\mathbb {R} } (z topologią naturalną), a Y = [ 0 , 2 ) , {\displaystyle Y=[0,2),} to zbiór [ 0 , 1 ) {\displaystyle [0,1)} jest otwarty w Y , {\displaystyle Y,} ale nie w X . {\displaystyle X.}

Charakteryzacja i własności

Topologia podprzestrzeni ma następujące własności. Przypuśćmy, że X {\displaystyle X} jest przestrzenią topologiczną a Y {\displaystyle Y} jest jej podprzestrzenią.

  • Niech i : Y ⟶ X {\displaystyle i\colon Y\longrightarrow X} będzie zanurzeniem identycznościowym. Wówczas dla dowolnej przestrzeni topologicznej Z {\displaystyle Z} i funkcji f : Z → Y , {\displaystyle f\colon Z\to Y,} f {\displaystyle f} jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja złożona i ∘ f {\displaystyle i\circ f} jest ciągła.
Własność charakteryzująca podprzestrzeń
Własność charakteryzująca podprzestrzeń

Powyższa własność jest charakteryzacją w tym sensie, że może być użyta do zdefiniowania topologii podprzestrzeni na Y . {\displaystyle Y.}

  • Jeśli f : X → Z {\displaystyle f\colon X\to Z} jest funkcją ciągłą, to jej ograniczenie do Y {\displaystyle Y} też jest ciągłe.
  • Podzbiór F ⊆ Y {\displaystyle F\subseteq Y} jest domknięty (w topologii na Y {\displaystyle Y} ) wtedy i tylko wtedy, gdy F = F ∗ ∩ Y {\displaystyle F=F^{*}\cap Y} dla pewnego domkniętego podzbioru F ∗ ⊆ X . {\displaystyle F^{*}\subseteq X.}
  • Jeśli B {\displaystyle {\mathcal {B}}} jest bazą topologii na X , {\displaystyle X,} to B Y = { U ∩ Y : U ∈ B } {\displaystyle {\mathcal {B}}_{Y}=\{U\cap Y:U\in {\mathcal {B}}\}} jest bazą topologii na Y . {\displaystyle Y.}
  • Każda podprzestrzeń przestrzeni Y {\displaystyle Y} jest także podprzestrzenią przestrzeni X . {\displaystyle X.}
  • Jeśli Y {\displaystyle Y} jest otwartym podzbiorem X , {\displaystyle X,} to podziór U ⊆ Y {\displaystyle U\subseteq Y} jest otwarty w Y {\displaystyle Y} wtedy i tylko wtedy, gdy jest otwarty w X . {\displaystyle X.}
  • Jeśli Y {\displaystyle Y} jest domkniętym podzbiorem X , {\displaystyle X,} to podziór F ⊆ Y {\displaystyle F\subseteq Y} jest domknięty w Y {\displaystyle Y} wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty w X . {\displaystyle X.}
  • Jeśli X {\displaystyle X} jest przestrzenią metryczną z metryką d , {\displaystyle d,} to wtedy d Y = d | Y × Y {\displaystyle d_{Y}=d|_{Y\times Y}} jest metryką na Y {\displaystyle Y} i topologia podprzestrzeni na Y {\displaystyle Y} jest wyznaczona przez d Y {\displaystyle d_{Y}}

Własności dziedziczne

Mówimy, że własność P przestrzeni topologicznych jest własnością dziedziczną, gdy:

dla każdej przestrzeni topologicznej X , {\displaystyle X,} jeśli X {\displaystyle X} ma własność P i Y {\displaystyle Y} jest podprzestrzenią X , {\displaystyle X,} to Y {\displaystyle Y} także ma własność P.

Przykłady własności dziedzicznych:

  • aksjomaty oddzielania T 0 , T 1 , T 2 , T 3 , T 3 1 2 , T 5 , T 6 , {\displaystyle T_{0},T_{1},T_{2},T_{3},T_{3{\frac {1}{2}}},T_{5},T_{6},}
  • aksjomaty przeliczalności,
  • metryzowalność,
  • całkowita niespójność,
  • bycie metryczną przestrzenią ośrodkową.

Przykłady własności, które nie są własnościami dziedzicznymi:

Zobacz też