Twierdzenie Junga

Twierdzenie Junga – nierówność pomiędzy średnicą zbioru punktów w dowolnej przestrzeni euklidesowej

Twierdzenie

Rozważmy przestrzeń zwartą

K ⊂ R n {\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}

i niech

d = max p , q ∈ K ‖ p − q ‖ 2 {\displaystyle d=\max \nolimits _{p,q\in K}\|p-q\|_{2}}

będzie średnicą zbioru K , {\displaystyle K,} to znaczy największą odległością euklidesową pomiędzy dowolnymi dwoma punktami w K . {\displaystyle K.} Twierdzenie Junga mówi, że istnieje zamknięta kula o promieniu

r ⩽ d n 2 ( n + 1 ) , {\displaystyle r\leqslant d{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)}}},}

która zawiera K . {\displaystyle K.} Przypadek graniczny występuje w przypadku n {\displaystyle n} -wymiarowego sympleksu foremnego.

Twierdzenie Junga na płaszczyźnie

Najczęściej twierdzenie Junga stosuje się do płaszczyzny, to znaczy przypadek n = 2. {\displaystyle n=2.} W tym przypadku twierdzenie mówi, że istnieje koło zawierające zbiór K {\displaystyle K} o promieniu

r ⩽ d 3 . {\displaystyle r\leqslant {\frac {d}{\sqrt {3}}}.}

Nie można pokazać lepszego ograniczenia: gdy S {\displaystyle S} jest trójkątem równobocznym (lub jego trzema wierzchołkami), wtedy

r = d 3 . {\displaystyle r={\frac {d}{\sqrt {3}}}.}

Inne przestrzenie metryczne

Dla dowolnego ograniczonego zbioru S , {\displaystyle S,} w dowolnej przestrzeni metrycznej d / 2 ⩽ r ⩽ d . {\displaystyle d/2\leqslant r\leqslant d.} Pierwsza nierówność wynika z nierówności trójkąta dla środka kuli oraz dwóch przeciwległych punktów, a druga wynika z tego, że kula o promieniu d {\displaystyle d} ze środkiem w dowolnym punkcie w S {\displaystyle S} będzie zawierała cały zbiór S . {\displaystyle S.} W przestrzeni metrycznej dyskretnej, to znaczy w przestrzeni, w której wszystkie odległości są równe r = d . {\displaystyle r=d.} Z drugiej strony, w przestrzeniach hiperwklęsłych, takich jak metryka miejska na płaszczyźnie r = d / 2 : {\displaystyle r=d/2{:}} dowolne dwie zamknięte kule o promieniu d / 2 {\displaystyle d/2} o środkach w S {\displaystyle S} mają niepuste przecięcie, a więc wszystkie takie kule mają wspólne przecięcie, a promień d / 2 {\displaystyle d/2} kuli o środku w tym przecięciu zawiera cały zbiór S . {\displaystyle S.} Znane są także wersje twierdzenia Junga dla innych geometrii nieeuklidesowych (np. Dekster 1995, 1997).

Bibliografia

  • Katz, M. Twierdzenie Junga w rzutowej geometrii zespolonej. „Quart. J. Math. Oxford”. 36 (4), s. 451–466, 1985. DOI: 10.1093/qmath/36.4.451. (ang.). 
  • Dekster, B. V. Twierdzenie Junga dla przestrzeni sferycznych i hiperbolicznych. „Acta Math. Sci. Hungar.”. 67 (4), s. 315–331, 1995. DOI: 10.1007/BF01874495. (ang.). 
  • Dekster, B. V. Twierdzenie Junga w przestrzeniach metrycznych o ograniczonej z góry krzywiźnie. „Proceedings of the American Mathematical Society”. 125 (8), s. 2425–2433, 1997. DOI: 10.1090/S0002-99. (ang.). 
  • Jung, Heinrich. Über die kleinste Kugel, die eine räumliche Figur einschließt. „J. Reine Angew. Math.”. 123, s. 241–257, 1901. (ang.). 
  • Jung, Heinrich. Über den kleinsten Kreis, der eine ebene Figur einschließt. „J. Reine Angew. Math.”. 137, s. 310–313, 1910. (ang.). 
  • Rademacher, Hans, Toeplitz, Otto: The Enjoyment of Mathematics. Dover, 1990, s. chapter 16. ISBN 978-0-486-26242-0. (ang.).

Linki zewnętrzne

  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Jung’s Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).