Układ biortogonalny

Układ biortogonalny – dla przestrzeni unormowanej X , {\displaystyle X,} indeksowany ciąg elementów X × X ∗ {\displaystyle X\times X^{*}} postaci ( ( x t , x t ∗ ) ) t ∈ T {\displaystyle ((x_{t},x_{t}^{*}))_{t\in T}} o tej własności, że x s ∗ x t = δ s t {\displaystyle x_{s}^{*}x_{t}=\delta _{st}} (zob. symbol Kroneckera). Indeksowany ciąg ( x t ) t ∈ T {\displaystyle (x_{t})_{t\in T}} punktów p. X {\displaystyle X} nazywany jest minimalnym, jeżeli istnieje ciąg ( x t ∗ ) t ∈ T {\displaystyle (x_{t}^{*})_{t\in T}} punktów p. X ∗ {\displaystyle X^{*}} taki, że ( ( x t , x t ∗ ) ) t ∈ T {\displaystyle ((x_{t},x_{t}^{*}))_{t\in T}} jest układem biortogonalnym. Przy pomocy twierdzenia Hahna-Banacha dla każdej przestrzeni unormowanej można podać przykład układu biortogonalnego. Dokładniej, ciąg ( x t ) t ∈ T {\displaystyle (x_{t})_{t\in T}} jest minimalny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego t ∈ T : {\displaystyle t\in T{:}}

x t ∉ cl lin { x s : s ∈ T ∖ { t } } . {\displaystyle x_{t}\notin {\mbox{cl lin}}\{x_{s}\colon \,s\in T\setminus \{t\}\}.}

Definicję układu biortogonalnego można mutatis mutandis rozszerzyć na klasę przestrzeni liniowo-topologicznych o nietrywialnych przestrzeniach sprzężonych.

Istnienie układów biortogonalnych

  • W każdej ośrodkowej przestrzeni Banacha X {\displaystyle X} dla każdego ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} istnieje taki przeliczalny układ biortogonalny ( ( x n , x n ∗ ) ) n , {\displaystyle ((x_{n},x_{n}^{*}))_{n},} że wektory x n {\displaystyle x_{n}} są liniowo gęste w X , {\displaystyle X,} jeżeli ⟨ x n , x ⟩ = 0 {\displaystyle \langle x_{n},x\rangle =0} dla każdego n {\displaystyle n} to x = 0 {\displaystyle x=0} oraz
‖ x n ∗ ‖ ⋅ ‖ x n ‖ < 1 + ε {\displaystyle \|x_{n}^{*}\|\cdot \|x_{n}\|<1+\varepsilon }
dla wszelkich n {\displaystyle n} [1].

Bazy Markuszewicza

Niech X {\displaystyle X} będzie przestrzenią unormowaną. Układ biortogonalny ( ( x t , x t ∗ ) ) t ∈ T {\displaystyle ((x_{t},x_{t}^{*}))_{t\in T}} nazywany jest:

  • fundamentalnym, jeżeli
cl lin { x t : s ∈ T } = X . {\displaystyle {\mbox{cl lin}}\{x_{t}\colon \,s\in T\}=X.}
  • totalnym, jeżeli
cl w ∗ lin { x t ∗ : s ∈ T } = X ∗ {\displaystyle {\mbox{cl}}_{w^{*}}{\mbox{lin}}\{x_{t}^{*}\colon \,s\in T\}=X^{*}} (gdzie cl w ∗ {\displaystyle {\mbox{cl}}_{w^{*}}} oznacza operację domknięcia w sensie *-słabej topologii),
  • bazą Markuszewicza (albo M-bazą) gdy jest fundamentalny i totalny,
  • układem Auerbacha, jeżeli ‖ x t ‖ = ‖ x t ∗ ‖ = 1 {\displaystyle \|x_{t}\|=\|x_{t}^{*}\|=1} dla każdego t ∈ T , {\displaystyle t\in T,}
  • bazą Auerbacha, jeżeli jest bazą Markuszewicza i układem Auerbacha.

Nazwa pojęcia bazy Markuszewicza pochodzi od nazwiska rosyjskiego matematyka, Aleksieja Markuszewicza. Każda ośrodkowa przestrzeń Banacha ma M-bazę. Problem istnienia M-baz dla przestrzeni Banacha typu WCG jest ciągle otwarty. Prawdziwe jest natomiast następujące twierdzenie Auerbacha, że każda skończenie wymiarowa przestrzeń Banacha ma bazę Auerbacha.

Układy biortogonalne dużej mocy

Kenneth Kunen podał jako pierwszy, pod założeniem hipotezy continuum, przykład przestrzeni Banacha, której wszystkie układy biortogonalne są przeliczalne (Kunen nie opublikował swojego wyniku – pojawił się on w monografii[2]). Kolejny przykład, pod założeniem diamentu Jensena, podał Saharon Szelach[3].

Przypisy

  1. ↑ A. Pełczyński, All separable Banach space admit for every ε > 0 fundamental total and bounded by 1 + ε biorthogonal sequences, „Studia Mathematica” 55 (1976), s. 295–304.
  2. ↑ S. Negrepontis, Banach spaces and topology, w: K. Kunen (ed.), J.E. Vaughan (ed.), Handbook of set-theoretic topology, Elsevier Sci. (1984), s. 1045–1142.
  3. ↑ Saharon Szelach, Uncountable constructions for B.A., e.c. groups and Banach spaces, „Israel J. Math.”, 51 (1985), s. 273–297.

Bibliografia

  • J. Vanderwerff, P. Hájek, S.V. Montesinos, V. Zizler, Biorthogonal Systems in Banach Spaces, Springer-Verlag GmbH, Nowy Jork 2007, ISBN 0-387-68914-1.