Wielokrotność

Wielokrotność – termin używany w algebrze w kilku podobnych, ale różnych znaczeniach.

Definicje

• W matematyce elementarnej, wielokrotność liczby naturalnej ${\displaystyle a,}$ to każda liczba ${\displaystyle b}$ postaci ${\displaystyle b=na,}$ gdzie ${\displaystyle n}$ jest liczbą naturalną^[1]. Definiuje się też całkowite wielokrotności liczby ${\displaystyle x}$ jako liczby ${\displaystyle s}$ postaci ${\displaystyle s=kx,}$ gdzie ${\displaystyle k}$ jest liczbą całkowitą^[2].
• W teorii podzielności powiemy, że element ${\displaystyle b}$ pierścienia całkowitego ${\displaystyle R}$ jest wielokrotnością elementu ${\displaystyle a}$ tegoż pierścienia, jeśli ${\displaystyle b=ca}$ dla pewnego ${\displaystyle c\in R}$ (zobacz Gleichgewicht 1983 ↓, s. 283). W tym kontekście, jeśli ${\displaystyle b}$ jest wielokrotnością ${\displaystyle a}$ (w pierścieniu ${\displaystyle R}$) to mówimy też, że ${\displaystyle a}$ jest dzielnikiem ${\displaystyle b.}$
• W teorii grup, wielokrotnościami elementu ${\displaystyle g}$ w grupie ${\displaystyle (G,+)}$ nazywamy elementy postaci ${\displaystyle n\cdot g=g+g+\ldots +g}$ (${\displaystyle n}$ składników)^[3].

Przykłady

W matematyce elementarnej

• Wielokrotności liczby 5 to liczby 5, 10, 15, 20 itd. Wszystkie te liczby są wielokrotnościami liczby 5 w sensie pierścienia liczb całkowitych (i teorii podzielności w tym pierścieniu).
• Liczby ${\displaystyle \pi ,\ 2\pi ,\ 3\pi ,\ 4\pi }$ są całkowitymi wielokrotnościami liczby ${\displaystyle \pi .}$ Warto zwrócić uwagę, że wszystkie te liczby są też wielokrotnościami ${\displaystyle \pi }$ w sensie grupy addytywnej liczb rzeczywistych ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,0).}$

W teorii pierścieni

• 125 jest wielokrotnością -5 w pierścieniu liczb całkowitych.
• W pierścieniu ${\displaystyle \mathbb {C} [x]}$ wielomianów o współczynnikach zespolonych, wielomian ${\displaystyle x^{2}+1}$ jest wielokrotnością wielomianu ${\displaystyle x+i}$ (bowiem ${\displaystyle x^{2}+1=(x+i)(x-i)}$).
• Jeśli pierścień ${\displaystyle R}$ jest ciałem oraz ${\displaystyle a\in R\setminus \{0\},}$ to wszystkie elementy ${\displaystyle R}$ są wielokrotnościami ${\displaystyle a}$ w sensie teorii pierścieni.

W teorii grup

• W grupie S₃, permutacja ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}}}$ jest wielokrotnością ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}}$ bowiem

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}}}$

• W grupie addytywnej klas reszt modulo 25, tzn. w ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{25},+),}$ wielokrotnościami 5 są: 5, 10, 15, 20 i 0.

Wspólna wielokrotność

Wspólna wielokrotność liczb naturalnych ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$ jest to taka liczba ${\displaystyle z,}$ która jest wielokrotnością liczby ${\displaystyle x}$ i jest wielokrotnością liczby ${\displaystyle y,}$ to znaczy istnieją takie liczby ${\displaystyle k,l}$ należące do zbioru liczb naturalnych, że ${\displaystyle z=kx}$ i ${\displaystyle z=ly.}$

Przykład

Wspólnymi wielokrotnościami liczb 4 i 6 są liczby: 12, 24, 36, 48 itd.

${\displaystyle 12=4\cdot 3=6\cdot 2,}$

${\displaystyle 24=4\cdot 6=6\cdot 4.}$

Najmniejsza ze wspólnych wielokrotności to najmniejsza wspólna wielokrotność. Każde dwie liczby naturalne mają nieskończenie wiele wspólnych wielokrotności.

Zobacz też

Zobacz hasło wielokrotność w Wikisłowniku

• podwielokrotność

Przypisy

Bibliografia

• BolesławB. Gleichgewicht BolesławB., Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, wyd. III, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1983, ISBN 83-01-03903-5 .