Wielomian stabilny

Wielomian stabilny – wielomian, który spełnia jeden z poniższych warunków:

Pierwszy z warunków definiuje stabilność Hurwitza lub stabilność czasu ciągłego. Drugi z warunków definiuje stabilność Schura lub stabilność czasu dyskretnego.

Wielomiany stabilne pojawiają się w wielu gałęziach matematyki, na przykład w równaniach różniczkowych i w teorii sterowania. Istotnie, układ liniowy, stacjonarny (ang. LTI, Linear Time Invariant) jest BIBO stabilny wtedy i tylko wtedy gdy ograniczone wejścia dają na wyjściu ograniczone wyjścia. Równoważne jest to wymaganiu by mianownik transmitancji operatorowej (dla której można wykazać, że jest wymierna) był stabilny. W przypadku układów czasu ciągłego wymagane jest by mianownik był stabilny w sensie Hurwitza, a w przypadku układów czasu dyskretnego stabilny w sensie Schura.

Stabilne wielomiany nazywa się czasami odpowiednio wielomianami Hurwitza (zob. też macierz Hurwitza) lub wielomianami Schura.

Własności

  • Twierdzenie Routha-Hurwitza podaje algorytm pozwalający na określenie czy dany wielomian jest stabilny w sensie Hurwitza.
  • Aby sprawdzić czy dany wielomian P {\displaystyle P} (stopnia d {\displaystyle d} ) jest stabilny w sensie Schura, wystarczy zastosować to twierdzenie do przekształconego wielomianu: Q ( z ) = ( z − 1 ) d P ( z + 1 z − 1 ) {\displaystyle Q(z)=(z-1)^{d}P\left({\frac {z+1}{z-1}}\right)} otrzymanego w wyniku przekształcenia Möbiusa z ↦ z + 1 z − 1 , {\displaystyle z\mapsto {\frac {z+1}{z-1}},} które przekształca lewą półpłaszczyznę na koło o okręgu jednostkowym (zob. też metoda Tustina). Wielomian P {\displaystyle P} jest stabilny w sensie Schura wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian Q {\displaystyle Q} jest stabilny w sensie Hurwitza.
  • Warunek konieczny: stabilny wielomian Hurwitza (o współczynnikach rzeczywistych) ma współczynniki tego samego znaku (albo wszystkie dodatnie albo wszystkie ujemne).
  • Warunek wystarczający: wielomian f ( z ) = a 0 + a 1 z + … + a n z n {\displaystyle f(z)=a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{n}z^{n}} z rzeczywistymi współczynnikami takimi, że:
a n > a n − 1 > … > a 0 > 0 {\displaystyle a_{n}>a_{n-1}>\ldots >a_{0}>0} jest stabilny w sensie Schura.
  • Zasada iloczynu: dwa wielomiany f {\displaystyle f} i g {\displaystyle g} są stabilne (w tym samym sensie) wtedy i tylko wtedy jeśli ich iloczyn f g {\displaystyle fg} jest również stabilny.

Przykłady

  • 4 z 3 + 3 z 2 + 2 z + 1 {\displaystyle 4z^{3}+3z^{2}+2z+1} jest stabilny w sensie Schura ponieważ spełnia warunek wystarczający
  • z 10 {\displaystyle z^{10}} jest stabilny w sensie Schura (ponieważ wszystkie jego pierwiastki równe są 0 {\displaystyle 0} ), ale nie spełnia on warunku wystarczającego
  • z 2 − z − 2 {\displaystyle z^{2}-z-2} nie jest stabilny w sensie Hurwitza (jego pierwiastki to 1 , − 2 {\displaystyle 1,-2} ) ponieważ nie spełnia warunku koniecznego
  • z 2 + 3 z + 2 {\displaystyle z^{2}+3z+2} jest stabilny w sensie Hurwitza (jego pierwiastki to − 1 , − 2 {\displaystyle -1,-2} )
  • Wielomian z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 {\displaystyle z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1} (ze współczynnikami dodatnimi) nie jest ani stabilny w sensie Hurwitza ani stabilny w sensie Schura. Jego pierwiastki to cztery pierwotne piąte pierwiastki z jedynki:
z k = cos ⁡ ( 2 π k 5 ) + i sin ⁡ ( 2 π k 5 ) , k = 1 , … , 4. {\displaystyle z_{k}=\cos \left({\frac {2\pi k}{5}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi k}{5}}\right),\,k=1,\dots ,4.}

Należy przy tym zauważyć, że:

cos ⁡ ( 2 π / 5 ) = 5 − 1 4 > 0. {\displaystyle \cos({{2\pi }/5})={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}>0.}

Jest to więc przypadek graniczny stabilności w sensie Schura ponieważ pierwiastki wielomianu leżą na okręgu jednostkowym. Przykład ten pokazuje również, że warunki konieczne (dodatniość) określone powyżej dla stabilności w sensie Hurwitza nie są wystarczające.

Zobacz też