Współczynniki greckie

W matematyce finansowej współczynniki greckie oznaczają wrażliwość rynku opcji lub innych instrumentów pochodnych. Greckie współczynniki mierzą zmianę wartości opcji w stosunku do zmiany czynników wpływających na wartość opcji.

Współczynniki greckie

Delta

Współczynnik delta oznacza przewidywany stopień zmiany ceny opcji w zależności od małej zmiany ceny instrumentu bazowego będącego przedmiotem opcji^[1].

Współczynnik ten przyjmuje wartość dla opcji kupna z przedziału od 0 do 1, a dla opcji sprzedaży od –1 do 0. W przypadku instrumentu bazowego wartość delta wynosi 1.

Matematycznie, delta jest pochodną wartości opcji ${\displaystyle V}$ po cenie instrumentu bazowego ${\displaystyle S.}$

Wzór

${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial V}{\partial S}},}$

gdzie:

${\displaystyle \Delta }$ – zmiana ceny opcji,

${\displaystyle V}$ – wartość opcji,

${\displaystyle S}$ – cena instrumentu bazowego.

gamma

Jest miarą zmiany wartości współczynnika delta. Innymi słowy jest drugą pochodną wartości opcji ${\displaystyle V}$ po cenie instrumentu bazowego ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle {}\ \Gamma ={\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}.}$

theta

Mierzy wrażliwość wartości opcji na upływ czasu do wygaśnięcia (inaczej, pochodna wartości po czasie). ${\displaystyle {}\ \Theta =-{\frac {\partial V}{\partial T}}.}$

vega

Jest miarą zmiany wartości opcji na skutek zmiany zmienności instrumentu bazowego, ${\displaystyle \nu ={\frac {\partial V}{\partial \sigma }}.}$ Vega nie jest nazwą litery alfabetu greckiego. Jako symbolu używa się litery ${\displaystyle \nu }$ (ny). W niektórych opracowaniach używa się kappa, ${\displaystyle {}\ \kappa .}$

rho

Mierzy wrażliwość zmiany wartości opcji na zmianę stopy wolnej od ryzyka. ${\displaystyle {}\ \rho ={\frac {\partial V}{\partial r}}.}$

Black-Scholes

Na podstawie modelu Blacka-Scholesa współczynniki greckie są liczone w następujący sposób. ${\displaystyle \phi }$ (phi) jest funkcją gęstości rozkładu normalnego oraz ${\displaystyle \Phi }$ jest wartością dystrybuanty rozkładu normalnego. Należy zauważyć, że gamma i vega mają takie same wzory dla opcji kupna i sprzedaży.

Dla danych: ceny instrumentu bazowego, ${\displaystyle S,}$
ceny wykonania, ${\displaystyle K,}$
stopy wolnej od ryzyka, ${\displaystyle r,}$
rocznej stopa dywidendy dla indeksu, ${\displaystyle q,}$
czas do realizacji, ${\displaystyle \tau =T-t,}$
historyczna zmienność, ${\displaystyle \sigma ...}$

	Opcje kupna	Opcje sprzedaży
delta	${\displaystyle e^{-q\tau }\Phi (d_{1})}$	${\displaystyle -e^{-q\tau }\Phi (-d_{1})}$
gamma	${\displaystyle e^{-q\tau }{\frac {\phi (d_{1})}{S\sigma {\sqrt {\tau }}}}}$
vega	${\displaystyle Se^{-q\tau }\phi (d_{1}){\sqrt {\tau }}}$
theta	${\displaystyle -e^{-q\tau }{\frac {S\phi (d_{1})\sigma }{2{\sqrt {\tau }}}}-rKe^{-r\tau }\Phi (d_{2})+qSe^{-q\tau }\Phi (d_{1})}$	${\displaystyle -e^{-q\tau }{\frac {S\phi (d_{1})\sigma }{2{\sqrt {\tau }}}}+rKe^{-r\tau }\Phi (-d_{2})-qSe^{-q\tau }\Phi (-d_{1})}$
rho	${\displaystyle K\tau e^{-r\tau }\Phi (d_{2})}$	${\displaystyle -K\tau e^{-r\tau }\Phi (-d_{2})}$
volga	${\displaystyle Se^{-q\tau }\phi (d_{1}){\sqrt {\tau }}{\frac {d_{1}d_{2}}{\sigma }}=Vega{\frac {d_{1}d_{2}}{\sigma }}}$
vanna	${\displaystyle -e^{-q\tau }\phi (d_{1}){\frac {d_{2}}{\sigma }}\,={\frac {Vega}{S}}\left[1-{\frac {d_{1}}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\right]}$
charm	${\displaystyle -qe^{-q\tau }\Phi (d_{1})+e^{-q\tau }\phi (d_{1}){\frac {2(r-q)\tau -d_{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}{2\tau \sigma {\sqrt {\tau }}}}}$	${\displaystyle qe^{-q\tau }\Phi (-d_{1})-e^{-q\tau }\phi (d_{1}){\frac {2(r-q)\tau -d_{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}{2\tau \sigma {\sqrt {\tau }}}}}$
color	${\displaystyle -e^{-q\tau }{\frac {\phi (d_{1})}{2S\tau \sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[2q\tau +1+{\frac {2(r-q)\tau -d_{2}\sigma {\sqrt {\tau }}}{2\tau \sigma {\sqrt {\tau }}}}d_{1}\right]}$
dual delta	${\displaystyle -e^{-r\tau }\Phi (d_{2})}$	${\displaystyle e^{-r\tau }\Phi (-d_{2})}$
dual gamma	${\displaystyle e^{-r\tau }{\frac {\phi (d_{2})}{K\sigma {\sqrt {\tau }}}}}$

gdzie

${\displaystyle d_{1}={\frac {\ln(S/K)+(r-q+\sigma ^{2}/2)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}}$

${\displaystyle d_{2}={\frac {\ln(S/K)+(r-q-\sigma ^{2}/2)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {\tau }}}$

${\displaystyle \phi (x)={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}}$

${\displaystyle \Phi (x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}\,dy=\int _{-x}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}\,dy}$

Zobacz też

• delta neutralny
• model Blacka-Scholesa
• wzór Blacka-Scholesa

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Gpw.pl Informacje na temat wyceny opcji.