Zbiór pusty

Ten artykuł dotyczy znaku zbioru pustego. Zobacz też: Ø – litera alfabetu duńskiego, islandzkiego i norweskiego, ⌀ – znak średnicy oraz ø – litera używana w międzynarodowym alfabecie fonetycznym IPA.

Zbiór pusty – zbiór niezawierający żadnych elementów^[1]; zazwyczaj oznaczany symbolami ${\displaystyle \varnothing ,}$ ${\displaystyle \emptyset ,}$ rzadziej ${\displaystyle \{\}}$ (niegdyś również: 0^[2] lub Λ^[3]). Zbiór, który nie jest pusty, tj. taki, który zawiera choćby jeden element, nazywany jest zbiorem niepustym^[4].

W teorii mnogości Zermela-Fraenkla istnienie zbioru pustego jest zagwarantowane przez aksjomat zbioru pustego^[5], a jego jedyność wynika z aksjomatu ekstensjonalności.

Własności

• Zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru:

  ${\displaystyle \forall A:\varnothing \subseteq A,}$

bo zgodnie z definicją zachodzi

${\displaystyle \forall x:(x\in \varnothing \implies x\in A).}$

Prawdziwość powyższej implikacji wynika z reguły z fałszu wynika wszystko.

• Suma dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równa zbiorowi A:

  ${\displaystyle \forall A:A\cup \varnothing =A}$

• Iloczyn dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równy zbiorowi pustemu:

  ${\displaystyle \forall A:A\cap \varnothing =\varnothing }$

• Iloczyn kartezjański dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równy zbiorowi pustemu:

  ${\displaystyle \forall A:A\times \varnothing =\varnothing }$

• Jedynym podzbiorem zbioru pustego jest zbiór pusty:

  ${\displaystyle \forall A:(A\subseteq \varnothing \implies A=\varnothing )}$

Oznacza to, że zbiór potęgowy zbioru pustego zawiera tylko jeden element, czyli zbiór pusty.

• Moc zbioru pustego wynosi 0:

  ${\displaystyle \left\vert \varnothing \right\vert =0}$

• Dla dowolnego zbioru A zbiór pusty jest relacją w A zwaną relacją pustą.
• Dla dowolnego zbioru A można określić funkcję ${\displaystyle f:\varnothing \to A,}$ zwaną funkcją pustą.
• Jeżeli ${\displaystyle F(x)}$ jest dowolną funkcją zdaniową, to prawdą jest, że:

  ${\displaystyle \forall x\in \varnothing :(F(x)\land \lnot F(x))}$

• Ponadto dla dowolnej funkcji zdaniowej ${\displaystyle F(x)}$ i zbioru A, na którym jest ona określona, zachodzi warunek:

  ${\displaystyle [\forall x\in A:(F(x)\land \lnot F(x))]\implies A=\varnothing }$

• ${\displaystyle \varnothing \neq \{\varnothing \}\neq \{\{\varnothing \}\}}$ etc.

Zobacz też

• zbiór jednoelementowy

Przypisy

Bibliografia

• Algebra zbiorów. § 3. Inkluzje. Zbiór pusty, [w:] KazimierzK. Kuratowski KazimierzK., AndrzejA. Mostowski AndrzejA., Teoria mnogości, t. 27, Warszawa-Wrocław 1952 (Monografie matematyczne), s. 8–10 [zarchiwizowane z adresu 2003-07-04] .
• AntoniA. Wiweger AntoniA., Kłopoty ze zbiorem pustym, „Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego. Seria II. Wiadomości Matematyczne”, 11 (2), 1970, s. 187–199 .