Integração por substituição trigonométrica

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A substituição trigonométrica é uma técnica de integração muito utilizada quando ocorre integrando algébricos. Ela se baseia no fato que identidades trigonométricas muitas vezes possibilitam a substituição de um função algébrica por uma função trigonométrica, que pode ser mais facilmente integrada.

Substituição trigonométrica

Antes de alguns exemplos, é bom saber quais são as possíveis substituições adequadas. Uma maneira simples de descobrir tais substituições consiste no uso da fórmula fundamental da trigonometria s e n 2 θ   + c o s 2 θ   = 1 {\displaystyle sen^{2}\theta \ +cos^{2}\theta \ =1}

É fácil de perceber, que as funções s e n 2 θ {\displaystyle sen^{2}\theta } e c o s 2 θ {\displaystyle cos^{2}\theta } podem ser obtidas, passando um delas para o outro lado e subtraindo de 1. Obtendo as seguintes fórmulas:

c o s 2 θ   = 1 − s e n 2 θ {\displaystyle cos^{2}\theta \ =1-sen^{2}\theta }

s e n 2 θ   = 1 − c o s 2 θ {\displaystyle sen^{2}\theta \ =1-cos^{2}\theta }

Fórmulas de outras funções trigonométricas como tangente e secante, podem ser obtidas dividindo ambos os lados da equação fundamental da trigonometria por um fator conveniente. Por exemplo, para se obter uma relação envolvendo a tangente e a secante divide-se ambos os lados da equação por c o s 2 θ {\displaystyle cos^{2}\theta }

s e n 2 θ   + c o s 2 θ   = 1 {\displaystyle sen^{2}\theta \ +cos^{2}\theta \ =1}

s e n 2 θ c o s 2 θ + c o s 2 θ c o s 2 θ = 1 c o s 2 θ {\displaystyle {\frac {sen^{2}\theta }{cos^{2}\theta }}+{\frac {cos^{2}\theta }{cos^{2}\theta }}={\frac {1}{cos^{2}\theta }}}

Resultando em:

t a n 2 θ   = s e c 2 θ   − 1 {\displaystyle tan^{2}\theta \ =sec^{2}\theta \ -1}

Essas substituições podem ser sumarizadas da seguinte forma:

1 − s e n 2 θ   = c o s 2 θ {\displaystyle 1-sen^{2}\theta \ =cos^{2}\theta }
para a 2 − x 2 {\displaystyle {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}} , sendo a uma constante positiva.

1 + tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ {\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta \;=\;\sec ^{2}\theta }
para a 2 + x 2 {\displaystyle {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}} , com a > 0

sec 2 ⁡ θ − 1 = tan 2 ⁡ θ {\displaystyle \sec ^{2}\theta -1\;=\;\tan ^{2}\theta }
para x 2 − a 2 {\displaystyle {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}} , sendo a maior do que zero, constante.

Substituição inversa

Deve se ter em mente que a substituição trigonométrica não é inteiramente igual a substituição clássica onde uma variável é colocada em função de x (a incógnita original da equação), mas sim o contrario será feito.

u = ϕ   ( x ) {\displaystyle u=\phi \ (x)}

x = ϕ   − 1 ( u ) {\displaystyle x=\phi \ ^{-1}(u)}
, d x = [ ϕ   − 1 ] ′ ( u ) d u {\displaystyle dx=[\phi \ ^{-1}]'(u)du}

∫ f ( x ) d x = ∫ f ( u ) [ ϕ   − 1 ] ′ ( u ) d u {\displaystyle \int f(x)dx=\int f(u)[\phi \ ^{-1}]'(u)du}

Exemplo

Considere a integral ∫ 16 − x 2 d x {\displaystyle \int {\sqrt {16-x^{2}}}dx} usando a substituição x = 4 s e n θ {\displaystyle x=4sen\theta } , obtêm-se d x = 4 c o s θ   d θ {\displaystyle dx=4cos\theta \ d\theta }

∫ 16 ( 1 − s e n 2 θ ) 4   c o s θ   d θ {\displaystyle \int {\sqrt {16(1-sen^{2}\theta )}}4\ cos\theta \ d\theta }
16 ∫   c o s 2 θ   d θ {\displaystyle 16\int \ cos^{2}\theta \ d\theta }

A integral de cosseno ao quadrado pode ser feito utilizando integração por partes

u = c o s θ , d v = c o s θ   d θ {\displaystyle u=cos\theta ,dv=cos\theta \ d\theta }
∫ c o s 2 θ   d θ = c o s θ   s e n θ + ∫ s e n 2 θ   d θ {\displaystyle \int cos^{2}\theta \ d\theta =cos\theta \ sen\theta +\int sen^{2}\theta \ d\theta }
∫ c o s 2 θ   d θ = c o s θ   s e n θ + ∫ 1   d θ − ∫ c o s 2 θ   d θ {\displaystyle \int cos^{2}\theta \ d\theta =cos\theta \ sen\theta +\int 1\ d\theta -\int cos^{2}\theta \ d\theta }
∫ c o s 2 θ   d θ = c o s θ   s e n θ 2 + θ 2 {\displaystyle \int cos^{2}\theta \ d\theta ={\frac {cos\theta \ sen\theta }{2}}+{\frac {\theta }{2}}}

Voltando a equação original

16 ∫ c o s 2 θ   d θ = 16 ( c o s θ   s e n θ 2 + θ 2 ) {\displaystyle 16\int cos^{2}\theta \ d\theta =16\left({\frac {cos\theta \ sen\theta }{2}}+{\frac {\theta }{2}}\right)}

Agora deve se voltar a incógnita original, isso pode ser feito transpondo o ângulo θ {\displaystyle \theta } para um triângulo retângulo. Nesse caso o triângulo teria hipotenusa de valor 4 e cateto oposto a θ {\displaystyle \theta } igual a x {\displaystyle x} , consequentemente o cateto adjacente ao ângulo θ {\displaystyle \theta } valerá 16 − x 2 {\displaystyle {\sqrt {16-x^{2}}}} . Estes valores podem ser deduzidos a partir das relações fundamentais da função seno e cosseno. Obtendo assim as seguintes relações:

c o s θ = 16 − x 2 4 {\displaystyle cos\theta ={\frac {\sqrt {16-x^{2}}}{4}}}
s e n θ = x 4 {\displaystyle sen\theta ={\frac {x}{4}}}

O ângulo θ {\displaystyle \theta } pode ser expresso como a r c s e n x 4 {\displaystyle arcsen{\frac {x}{4}}} Obtendo assim como resposta final:

x 16 − x 2 2 + 8 a r c s e n x 4 + C {\displaystyle {\frac {x{\sqrt {16-x^{2}}}}{2}}+8{arcsen{\frac {x}{4}}}+C}

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