Matriz transposta

Em matemática, matriz transposta é a matriz que se obtém da troca de linhas por colunas de uma dada matriz. Desta forma, transpor uma matriz é a operação que leva na obtenção de sua transposta. Neste artigo, a matriz transposta de uma matriz ${\displaystyle M}$ será representada por ${\displaystyle M^{\mathrm {T} }}$. Outras formas de representação encontradas na literatura são ${\displaystyle M^{t}}$ e ${\displaystyle M'}$.^[1][2][3]

Definição

A transposta da matriz ${\displaystyle A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}}$ é a matriz ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=[a_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m}}$^[1][2][3], i.e.:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\ldots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\ldots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\ldots &a_{m,n}\\\end{bmatrix}}\Leftrightarrow A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{2,1}&\ldots &a_{m,1}\\a_{1,2}&a_{2,2}&\ldots &a_{m,2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1,n}&a_{2,n}&\ldots &a_{m,n}\\\end{bmatrix}}}$

A operação de transpor uma matriz é a operação unitária ${\displaystyle {}^{\mathrm {T} }:\mathbb {M} \to \mathbb {M} }$ definida no conjunto das matrizes ${\displaystyle \mathbb {M} }$ que associa a cada matriz ${\displaystyle A}$ sua transposta ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }}$.

Exemplos

Veja alguns exemplos:

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}.}$

• A matriz identidade é simétrica. Portanto, a matriz transposta da matriz identidade é a própria matriz identidade.

Construção

A transposta de uma matriz ${\displaystyle A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}}$ é construída por reflexão de seus elementos em relação à sua diagonal principal. Ou seja, o elemento da linha ${\displaystyle i}$-ésima linha e ${\displaystyle j}$-ésima coluna da matriz ${\displaystyle A}$ deve corresponder ao elemento da ${\displaystyle j}$-ésima linha e ${\displaystyle i}$-ésima coluna da matriz ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }}$.^[1]

Uma das formas práticas de construir a matriz ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }}$ é colocando em sua colunas as linhas da matriz ${\displaystyle A}$ na mesma ordem. Ou, equivalentemente, colocando as colunas da matriz ${\displaystyle A}$ nas linhas da matriz ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }}$ na mesma ordem.

Propriedades

Matrizes transpostas têm as seguintes propriedades:^[1]

1. ${\displaystyle \left(A^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=A}$
2. ${\displaystyle (A+B)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }}$
3. ${\displaystyle (cA)^{\mathrm {T} }=cA^{\mathrm {T} }}$
4. ${\displaystyle \left(AB\right)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }}$
5. ${\displaystyle (A^{\mathrm {T} })^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm {T} }}$, se ${\displaystyle A}$ é uma matriz não singular.
6. ${\displaystyle \det(A^{\mathrm {T} })=\det(A)}$
7. A multiplicação de uma matriz quadrada por sua transposta fornece uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva linha da matriz original. Por exemplo:

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {OliveGreen}b}\\{\color {Red}c}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}\Rightarrow XX^{T}={\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {OliveGreen}b}\\{\color {Red}c}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {Red}c}\\{\color {OliveGreen}b}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}=}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\color {Red}a}^{2}+{\color {OliveGreen}b}^{2}&{\color {Red}a}{\color {Red}c}+{\color {OliveGreen}b}{\color {OliveGreen}d}\\{\color {Red}c}{\color {Red}a}+{\color {OliveGreen}d}{\color {OliveGreen}b}&{\color {Red}c}^{2}+{\color {OliveGreen}d}^{2}\end{bmatrix}}}$

1. A multiplicação da transposta de uma matriz quadrada por si mesma fornece uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva coluna da matriz original. Por exemplo:

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {OliveGreen}b}\\{\color {Red}c}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}\Rightarrow X^{T}X={\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {Red}c}\\{\color {OliveGreen}b}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {OliveGreen}b}\\{\color {Red}c}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}=}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\color {Red}a}^{2}+{\color {Red}c}^{2}&{\color {Red}a}{\color {OliveGreen}b}+{\color {Red}c}{\color {OliveGreen}d}\\{\color {Red}a}{\color {OliveGreen}b}+{\color {Red}c}{\color {OliveGreen}d}&{\color {OliveGreen}b}^{2}+{\color {OliveGreen}d}^{2}\end{bmatrix}}}$

Demonstração.

1. ${\displaystyle \left(A^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=A\quad \,}$

Seja ${\displaystyle A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}}$. Então, ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=[a_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m}}$ e, portanto, ${\displaystyle \left(A^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}=A}$.

2. ${\displaystyle (A+B)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }}$

Sejam ${\displaystyle A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}}$ e ${\displaystyle B=[b_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}}$. Então:

${\displaystyle \left(A+B\right)^{\mathrm {T} }=\left([a_{i,j}+b_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}\right)^{\mathrm {T} }=[a_{i,j}+b_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m}=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }}$.

3. ${\displaystyle (cA)^{\mathrm {T} }=cA^{\mathrm {T} }}$

Seja ${\displaystyle A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}}$. Então:

${\displaystyle (cA)^{\mathrm {T} }=\left(c[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}\right)^{\mathrm {T} }=\left([ca_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}\right)^{\mathrm {T} }=[ca_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m}=c[a_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m}=cA^{\mathrm {T} }}$.

4. ${\displaystyle \left(AB\right)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }}$

Sejam ${\displaystyle A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}}$ e ${\displaystyle B=[b_{i,j}]_{i,j=1}^{n,p}}$. Então:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(AB\right)^{\mathrm {T} }&=\left([a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}[b_{i,j}]_{i,j=1}^{n,p}\right)^{\mathrm {T} }\\&=\left(\left[\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}\right]_{i,j=1}^{m,p}\right)^{\mathrm {T} }\\&=\left[\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}\right]_{j,i=1}^{p,m}\\&=\left[\sum _{k=1}^{n}b_{k,j}a_{i,k}\right]_{j,i=1}^{p,m}\\&=[b_{i,j}]_{j,i=1}^{p,n}[a_{i,j}]_{j,i}^{n,m}\\&=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }\end{aligned}}}$

5. ${\displaystyle (A^{\mathrm {T} })^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm {T} }}$, se ${\displaystyle A}$ é uma matriz não singular.

Se ${\displaystyle A}$ é uma matriz não singular, então ${\displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A=I}$. Daí, segue que:

${\displaystyle I=I^{\mathrm {T} }=\left(AA^{-1}\right)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }\left(A^{-1}\right)^{\mathrm {T} }}$

e

${\displaystyle I=I^{\mathrm {T} }=\left(A^{-1}A\right)^{\mathrm {T} }=\left(A^{-1}\right)^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }}$

ou seja, a inversa de ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }}$ é a transposta de ${\displaystyle A^{-1}}$, como queríamos demonstrar.

6. ${\displaystyle \det(A^{\mathrm {T} })=\det(A)}$

Seja ${\displaystyle A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,n}}$. Por definição, o determinante de ${\displaystyle A}$ é dado por:

${\displaystyle \det(A):=\sum _{k=1}^{n!}\pm a_{1,s_{k,1}}a_{2,s_{k,2}}\cdots a_{n,s_{k,n}}}$

onde, ${\displaystyle s_{k,i}}$ corresponde ao ${\displaystyle i}$-ésimo elemento da ${\displaystyle k}$-ésima permutação da sequência ${\displaystyle (1,2,\ldots ,n)}$. E, o sinal no somatório é positivo se a permutação é par e negativo se a permutação for ímpar.

Observamos, que na definição de determinante, em cada termo da soma exatamente um único elemento de cada linha, sem repetir a coluna, é escolhido. Isso é equivalente a dizer que em cada termo da soma exatamente um único elemento de cada coluna, sem repetir a linha, é escolhido, i.e.:

${\displaystyle \det(A)=\sum _{k=1}^{n!}\pm a_{s_{k,1},1}a_{s_{k,2},2}\cdots a_{s_{k,n},n}:=\det(A^{T})}$.

7. A multiplicação de uma matriz quadrada por sua transposta é uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva linha da matriz original.

Seja ${\displaystyle A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,n}}$. Então:

${\displaystyle AA^{\mathrm {T} }=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,n}[a_{i,j}]_{j,i=1}^{n,n}=\left[\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}a_{j,k}\right]_{i,j=1}^{n,n}}$

donde vemos que os termos da diagonal (${\displaystyle i=j}$) são as somas dos quadrados dos elementos da respectiva linha. Como queríamos demonstrar.

8. A multiplicação da transposta de uma matriz quadrada por si mesma fornece uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva coluna da matriz original.

Segue raciocínio análogo à demonstração da propriedade 7..

Ver também

• Matriz simétrica
• Matriz ortogonal
• Matriz congruente

Referências

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