Em matemática, a medida de Hausdorff é um tipo de medida exterior cujo nome se deve ao matemático alemão Felix Hausdorff e que associa a cada subconjunto do espaço euclidiano
um número real estendido não negativo. O conceito pode ser definido para qualquer espaço métrico.
A medida de Hausdorff em
está definidade para cada dimensão d maior ou igual a 0 (onde d é um número real, não estanto restrito aos números inteiros). A medida de Hausdorff de dimensão 0 de um conjunto S é o número de pontos deste conjunto, a medida de dimensão 1 de uma curva retificável é o comprimento dela, a medida de dimensão 2 de uma superfície é a medida da sua área.[1]
Definição
Seja X um espaço dotado da uma métrica
.
O diâmetro de um conjunto U é:
![{\displaystyle {\hbox{diam}}(U)=\sup \left\{\rho (x,y):x,y\in U\right\}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad5a83eb4348b55d6742f4495553e6b87939cdec)
Defina a seguinte quantidade:
![{\displaystyle H_{\delta }^{d}(S)=2^{-d}\alpha _{d}\inf {\Bigl \{}\sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {diam} (U_{i})^{d}:\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supset S,\,\operatorname {diam} (U_{i})<\delta {\Bigr \}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d5b79c34fa0fc02da08348467a6380e17904a07)
em que:
![{\displaystyle \alpha _{d}={\frac {\pi ^{d/2}}{\Gamma ({\frac {d}{2}}+1)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2068fce67009c7100468f931dcfb336a20ba95e0)
Note-se que o ínfimo é tomado sobre todos as coberturas contáveis de S por conjuntos
de diâmetro menor que δ, e a constante
é o volume da esfera unitária.
É fácil ver que
é monotonicamente decrescente em δ, uma vez que quanto maior δ, maior é a coleção de conjuntos permitida ao tomar o ínfimo. De onde, o limite
existe.
Finalmente, a medida de Hausdorff de dimensão d é definida por [1] :
![{\displaystyle H^{d}(S):=\sup _{\delta >0}H_{\delta }^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6920876928e851250aaa35e971c5e722f05c73c)
Dimensão de Hausdorff
A definição se Hausdorff de um conjunto S se está relacionada à medida de Hausdorff através de[1] :
![{\displaystyle \operatorname {dim} _{\mathrm {Haus} }(S)=\inf\{d\geq 0:H^{d}(S)=0\}=\sup {\bigl (}\{d\geq 0:H^{d}(S)=\infty \}\cup \{0\}{\bigr )},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c055be65cdf6da9818e0d16e9b17b70cb1feaae)
onde adota-se:
.
Referências
- ↑ a b c C. A. Rogers (1998). Hausdorff measures. [S.l.]: Cambridge mathematical library. ISBN 0521624916