Pontos extremos de uma função

Em matemática, em especial na análise real, os pontos de máximo e mínimo, também chamados de pontos extremos de uma função são pontos do domínio onde a função atinge seu valor máximo e mínimo. Ou seja, dizemos que ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle m}$ valores máximo e mínimo se existem pontos no domínio ${\displaystyle x_{m}}$ e ${\displaystyle x_{M}}$ tais que:

${\displaystyle m=f(x_{m})\leq f(x)\leq f(x_{M})=M}$, para todo ${\displaystyle x}$ no domínio.

Em geral, não se pode garantir a existência de tais máximos e mínimos, mesmo para funções reais contínuas limitadas. No entanto é possível mostrar que toda função real definida num compacto assume tanto um máximo como um mínimo.

Define-se também ponto de máximo local e ponto de mínimo local, que são pontos de máximo (ou de mínimo) de uma função em alguma vizinhança do ponto contida no domínio.

Definição

Uma função real f definida num domínio X tem um ponto máximo global em x* se ${\displaystyle f(x^{*})\geq f(x)}$ para todo x em X. Similarmente, a função tem um ponto mínimo global em x* se ${\displaystyle f(x^{*})\leq f(x)}$ para todo x em X.

O valor da função no ponto máximo é chamado de valor máximo da função e o valor da função no ponto mínimo é chamado de valor mínimo da função.

Se o domínio X é um espaço métrico então f tem um ponto máximo local no ponto x* se existir algum Ɛ 0  de modo que f(x*)  f(x) para todo x em X dentro da distância Ɛ de x*. Similarmente, a função tem um ponto mínimo local no x* se f(x*)  f(x) para todo x em X dentro da distância Ɛ de x*. Uma definição similar pode ser usada quando X é um espaço topológico, desde que a definição possa somente ser reescrita em termos de sua vizinhança. Note que um ponto máximo global é sempre um ponto máximo local, e igualmente para pontos mínimos.

Uma função contínua real com um domínio compacto sempre tem um ponto máximo e mínimo. Um importante exemplo é uma função cujo domínio é um intervalo aberto de números reais (e limitado)  (veja o gráfico acima).

Máximos e mínimos

Encontrar o máximo e mínimo global é o objetivo da otimização matemática. Se uma função é contínua em um intervalo fechado, então o teorema do valor extremo máximo e mínimo global existe. Além disso, o máximo global (ou mínimo) também pode ser um máximo local (ou mínimo) no interior do domínio, ou deve estar no limite do domínio. Então o método de encontrar o máximo global (ou mínimo) é através de todo máximo local (ou mínimo) no inteiro e também nos pontos máximos (ou mínimos) dos limites, e admitir o maior ou menor. Métodos dos intervalos fechados, para calcular máximos e mínimos absolutos de uma função F: [ a b ] pertence ao conjunto dos números reias, IR devemos:

1.     Derivar F(x) e encontrar  C, com F^’(C)=0

2.     Encontrar os valores C, onde F’(C) não existe.

3.     Calcular F(a), F(b).

4.     Comparar F(a),F(b) e os valores F(C):

·        O maior é o máximo absoluto

·        O menor é o mínimo absoluto.

EX:  f (x) =  x^3-3x^2+1                 [ -1/2,4]      

*Primeiro passo derivar a função.

f '(x ) = 3x^2-6x

* segundo passo achar o valor de x quando a derivada é 0 (achar as raízes da derivada)

f'(x)= 0

3x^2-6x= 0

3x(x-2)= 0

Usando a regra de Bhaskara, para que o resultado seja igual a zero, ou 3x =0, ou (x – 2) = 0

então as raízes são

x' =0 ..e x'' = 2

*Terceiro passo, substituir o ponto do intervalo [-1/2,4], na função.

f (x) = x^3-3x^2+1

*Quarto passo, substituir os valores das raízes da derivada na função

Onde

f (x) = x^3-3x^2+1

(4) ponto máximo absoluto                    (2) ponto mínimo absoluto

(17) máximo absoluto                            (-3) mínimo absoluto

O extremo local de uma função diferenciável pode ser encontrada através do teorema de Fermat, em que encontra os pontos críticos. Um modo é distinguir aonde o ponto critico é máximo local ou mínimo local usando o teste da primeira derivada, ou o teste de várias derivadas, dando uma suficiente diferenciabilidade.

Funções com mais de uma variável 

Para funções de mais do que uma variável as mesmas condições se aplicam. Por exemplo, na figura a direita, a condição necessária para o máximo local são similares a utilizadas para uma função com somente uma variável. A primeira derivada parcial em z (a variável a ser maximizada) é zero no máximo. A segunda derivada parcial é negativa. Isto é necessário, porém não é uma condição suficiente para um máximo local porque há a possibilidade de um ponto mínimo. Para resolver essas condições para o máximo, a função z tem que ser completamente diferenciável. O teste da segunda derivada parcial pode ajudar classificar o ponto em que é máximo relativo ou mínimo relativo. Em contraste, há diferenças entre funções de uma variável e funções de mais do que uma variável na identificação do extremo global. Por exemplo, se um limite de uma função diferenciável f definidade em um intervalo fechado na linha dos reais tem um único ponto crítico, no qual é um mínimo local, então este é também um mínimo global (usando o Teorema do valor intermediário e o Teorema de Rolle prova isto por redução pelo absurdo). Em duas ou mais dimensões, estes argumentos falham, como a função mostra

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}(1-x)^{3},x,y\in R}$

O ponto critico é (0,0) no qual é o mínimo local com ${\displaystyle f(0,0)=0}$. No entanto, este não pode ser um global, porque ${\displaystyle f(2,3)=-5}$.

Exemplos^[1]

• ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ definida na reta admite um mínimo em ${\displaystyle x=0}$ mas não admite máximo.
• ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ não tem mínimo ou máximo global. Entretanto a primeira derivada (3x²) é 0 em x=0, este é um ponto de inflexão.
• ${\displaystyle f(x)=\mid x\mid }$ tem um mínimo global em x=0 que não pode ser encontrado pelas derivadas, porque a derivadas não existe em x=0.
• ${\displaystyle f(x)=cos(x)}$ definida na reta admite infinitos pontos de máximo e infinitos pontos de mínimo.
• ${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$ definida na reta admite infinitos pontos de máximo e infinitos pontos de mínimo.

Pontos críticos

Ver artigo principal: Ponto crítico (funções)

Seja ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$ uma função real diferenciável em um domínio ${\displaystyle D}$ contido nos reais. Então todo ponto de máximo ou de mínimo local é também um ponto crítico da função, ou seja, sua derivada é nula.

Para demonstração isso, seja ${\displaystyle x_{0}}$ um ponto de máximo local, a derivada é dada por:

${\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}$

Podemos supor que ${\displaystyle h}$ é suficientemente pequeno de forma que ${\displaystyle f(x_{0}+h)\leq f(x_{0})}$. O que nos permite concluir, usando a existência do limite:

${\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{h\to 0+}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\leq 0}$

${\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{h\to 0-}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\geq 0}$

A demonstração no caso de um ponto de mínimo é análoga.

Referências

Stewart. James. Calculo. volume 1. 7 ed. São Paulo. Cengage Learning. 2013

Ver também

• Multiplicadores de Lagrange, método para encontrar extremos de uma função.
• Limites superior e inferiores

• Portal da matemática