Projeção de um vetor

Projeção de a sobre b (a1), e a componente de a ortogonal a b (a2).
Quando 90° < θ ≤ 180°, a1 tem sentido oposto em relação a b.

A projeção vetorial de um vetor a sobre um vetor não-nulo b (também conhecida como a componente de a na direção de b) é a projeção ortogonal de a sobre uma linha reta paralela a b. É um vetor paralelo a b, definido como

a 1 = a 1 b ^ {\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} }
em que a 1 {\displaystyle a_{1}} é um escalar, denominado projeção escalar de a sobre b, e b̂ é o vetor unitário na direção de b. Por outro lado, a projeção escalar é definida como
a 1 = | a | cos ⁡ θ = a ⋅ b ^ = a ⋅ b | b | {\displaystyle a_{1}=|\mathbf {a} |\cos \theta =\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} =\mathbf {a} \cdot {\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}}
em que o operador · indica um produto escalar, |a| é o comprimento de a, e θ é o ângulo entre a e b. A projeção escalar é igual ao comprimento da projeção vetorial, com um sinal negativo se o sentido da projeção é oposto ao sentido de b.

O vetor componente de a perpendicular a b, por vezes também chamado de componente ortogonal de a em relação a b,[1] é a projeção ortogonal de a sobre o plano (ou, em geral, hiperplano) ortogonal a b. Tanto a projeção a1 quanto a componente ortogonal a2 de um vetor a são vetores, e a sua soma é igual a a, o que implica que a componente ortogonal é dada por

a 2 = a − a 1 . {\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}.}

Notação

Normalmente, a projeção vetorial é indicada com letras em negrito (por exemplo a1), e a projeção escalar correspondente com letras normais (por exemplo a1). Em alguns casos, especialmente no manuscrito, a projeção vetorial também é indicada utilizando um diacrítico acima ou abaixo da letra (por exemplo, a → 1 {\displaystyle {\vec {a}}_{1}} ou a1; ver representações de vetores euclidianos para mais detalhes).

A projeção vetorial de a sobre b e a componente ortogonal correspondente, por vezes, são indicados por a∥b e a⊥b, respectivamente.

Definições em termos do ângulo

Projeção escalar

A projeção escalar de a sobre b é um escalar igual a

a 1 = | a | cos ⁡ θ {\displaystyle a_{1}=|\mathbf {a} |\cos \theta }
em que θ é o ângulo entre a e b.

Uma projeção escalar pode ser usada como um fator de escala para calcular a projeção vetorial correspondente.

Projeção vetorial

A projeção vetorial de a sobre b é um vetor, cuja magnitude é a projeção escalar de a sobre b e que forma com b um ângulo de 0 ou de 180 graus. Ou seja, ela é definida como

a 1 = a 1 b ^ = ( | a | cos ⁡ θ ) b ^ {\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} =(|\mathbf {a} |\cos \theta )\mathbf {\hat {b}} }
em que a 1 {\displaystyle a_{1}} é a projeção escalar correspondente, como definida acima, e b̂ é o vetor unitário com o mesmo sentido de b:
b ^ = b | b | {\displaystyle \mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}}

Componente ortogonal

Por definição, a componente ortogonal de a em relação a b é

a 2 = a − a 1 {\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}}
Assim,
a 2 = a − ( | a | cos ⁡ θ ) b ^ . {\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -(|\mathbf {a} |\cos \theta )\mathbf {\hat {b}} .}

Definições em termos dos vetores

Quando θ não é conhecido, o cosseno de θ pode ser calculado em termos de a {\displaystyle \mathbf {a} } e b {\displaystyle \mathbf {b} } , pela seguinte propriedade do produto escalar a ⋅ b {\displaystyle {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }} :

a ⋅ b | a | | b | = cos ⁡ θ {\displaystyle {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |}}=\cos \theta }

Projeção escalar

Usando a propriedade anterior do produto escalar, a definição de projeção escalar se torna

a 1 = | a | cos ⁡ θ = | a | a ⋅ b | a | | b | = a ⋅ b | b | {\displaystyle a_{1}=|\mathbf {a} |\cos \theta =|\mathbf {a} |{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}}

Projeção vetorial

Da mesma forma, a definição da projeção vetorial de a sobre b se torna

a 1 = a 1 b ^ = a ⋅ b | b | b | b | , {\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}}{\frac {\mathbf {b} }{|\mathbf {b} |}},}
o que é equivalente tanto a
a 1 = ( a ⋅ b ^ ) b ^ , {\displaystyle \mathbf {a} _{1}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} )\mathbf {\hat {b}} ,}
quanto a[2]
a 1 = a ⋅ b | b | 2 b = a ⋅ b b ⋅ b b . {\displaystyle \mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {b} |^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }.}

Computacionalmente, esta última fórmula é mais eficiente do que a anterior. Ambas requerem dois produtos escalares e, eventualmente, a multiplicação de um escalar por um vetor, mas a primeira requer ainda uma raiz quadrada e a divisão de um vetor por um escalar,[3] enquanto que a última, além dos produtos, requer apenas a divisão de um escalar por um escalar.

Componente ortogonal

Por definição,

a 2 = a − a 1 {\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}}
Assim,
a 2 = a − a ⋅ b b ⋅ b b . {\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }.}

Propriedades

Se 0° ≤ θ ≤ 90°, como no presente caso, a projeção escalar de a sobre b coincide com o comprimento do vetor da projeção vetorial.

Projeção escalar

A projeção escalar de a sobre b é um escalar que tem sinal negativo se 90 < θ ≤ 180 graus. Ele coincide com o comprimento |c| da projeção vetorial se o ângulo for menor do que 90°. Mais exatamente:

  • a1 = |a1| se 0 ≤ θ ≤ 90 graus,
  • a1 = −|a1| se 90 < θ ≤ 180 graus.

Projeção vetorial

A projeção vetorial de a sobre b é um vetor a1 que ou é nulo ou é paralelo a b. Mais exatamente:

  • a1 = 0 se θ = 90°,
  • a1 e b têm o mesmo sentido se 0 ≤ θ < 90 graus,
  • a1 e b têm sentidos opostos se 90 < θ ≤ 180 graus.

Componente ortogonal

A componente ortogonal de a sobre b é um vetor a2 que ou é nulo ou é ortogonal a b. Mais exatamente:

  • a2 = 0 se θ = 0 graus ou θ = 180 graus,
  • a2 é ortogonal a b se 0 < θ < 180 graus,

Representação matricial

A projeção ortogonal pode ser representada por uma matriz de projeção. Para projetar um vetor sobre o vetor unitário a = (ax, ay, az), bastaria multiplicá-lo pela seguinte matriz de projeção:

P a = a a T = [ a x a y a z ] [ a x a y a z ] = [ a x 2 a x a y a x a z a x a y a y 2 a y a z a x a z a y a z a z 2 ] {\displaystyle P_{a}=aa^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{x}^{2}&a_{x}a_{y}&a_{x}a_{z}\\a_{x}a_{y}&a_{y}^{2}&a_{y}a_{z}\\a_{x}a_{z}&a_{y}a_{z}&a_{z}^{2}\\\end{bmatrix}}}

Usos

A projeção vetorial é uma operação importante no processo de ortonormalização de Gram–Schmidt para bases de espaços vetoriais. Ele também é usado no teorema da separação de eixos para detectar se duas formas convexas se intersectam.

Generalizações

Uma vez que as noções de comprimento de vetor e de ângulo entre os vetores podem ser generalizadas para espaços com produto interno de dimensões arbitrárias, isso também é verdadeiro para as noções de projeção ortogonal de um vetor, projeção de um vetor sobre outro, e componente ortogonal de um vetor em relação a outro. Em alguns casos, o produto interno coincide com o ponto escalar. Sempre que eles não coincidem, o produto interno é usado em vez do produto escalar nas definições formais de projeção e de componente ortogonal.

Para um espaço com produto interno tridimensional, as noções de projeção de um vetor sobre outro e componente ortogonal em relação a um vetor podem ser generalizadas para as noções de projeção de um vetor sobre um plano, e de componente ortogonal de um vetor em relação a um plano.[4] A projeção de um vetor sobre um plano é a sua projeção ortogonal sobre aquele plano. A componente ortogonal de um vetor em relação a um plano é a sua projeção ortogonal sobre uma reta que é perpendicular a esse plano. Ambas são vetores. O primeiro é paralelo ao plano, o segundo é ortogonal a ele. Para um vetor e um plano dados, a soma de projeção sobre o plano com a componente ortogonal a ele é igual ao vetor original.

Da mesma forma, para espaços com produto interno espaços com dimensão maior do que três, as noções de projeção sobre um vetor e de componente ortogonal a um vetor podem ser generalizadas para as noções de projeção sobre um hiperplano, e componente ortogonal a um hiperplano.

Na álgebra geométrica, elas também podem ser generalizadas para as noções de projeção e componente ortogonal de um multivetor geral sobre/em relação a qualquer k-lâmina inversível.

Ver também

  • Projeção escalar

Referências

  1. ↑ Perwass, G. (2009). Geometric Algebra With Applications in Engineering. [S.l.: s.n.] p. 83 
  2. ↑ «Dot Products and Projections» 
  3. ↑ The second dot product, the square root and the division are not shown, but they are needed to compute; b ^ = b / | b | {\displaystyle \mathbf {\hat {b}} ={\mathbf {b} }/{|\mathbf {b} |}} (for more details, see the definition of Euclidean norm).
  4. ↑ M.J. Baker, 2012.

Ligações externas

  • Projeção de um vetor sobre um plano (em inglês)