Quadrimomento

Em relatividade especial, o quadrimomento é um quadrivetor que substitui ao momento clássico. O quadrimomento de uma partícula se define como o produto da massa (relativística) da partícula pela quadrivelocidade da mesma.

P a = m U a = m ( c , u x , u y , u z ) = ( m c 2 c , m u x , m u y , m u z ) = ( E c , p x , p y , p z ) {\displaystyle P^{a}=mU^{a}=m\left(c,u_{x},u_{y},u_{z}\right)=\left({\frac {mc^{2}}{c}},mu_{x},mu_{y},mu_{z}\right)=\left({E \over c},p_{x},p_{y},p_{z}\right)}

Onde m c 2 = E {\displaystyle mc^{2}=E\,\!} , é a energia do corpo em movimento, e c é a velocidade da luz. Calculando a (pseudo)norma de Minkowski do quadrimomento resulta em:

P a P a = E 2 c 2 − m 2 u 2 {\displaystyle P^{a}P_{a}={E^{2} \over c^{2}}-m^{2}u^{2}\,}

Entrando aqui com E = m c2 e a equação da massa relativística:

m = m 0 1 − u 2 c 2 {\displaystyle m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\,}

chega-se a:

P a P a = m 0 2 c 2 {\displaystyle P^{a}P_{a}=m_{0}^{2}c^{2}}

Como c é uma constante, se poderia dizer que, selecionando unidades de medida nas quais c = 1, a norma de Minkowski do quadrimomento é igual à massa em repouso do corpo.

A conservação do quadrimomento origina as três leis de conservação clássicas:

  1. A energia (p0) é uma quantidade conservada.
  2. O momento clássico é uma quantidade conservada.
  3. A norma do quadrimomento é um escalar conservado independente do observador.

Nas reações entre um grupo de partículas isoladas, o quadrimomento se conserva. A massa de um sistema de partículas com momento linear zero pode ser maior que a soma da massa de repouso das partículas, devido a que a energia cinética se conta como massa. Por exemplo, se temos duas partículas com quadrimomento {5, 4, 0, 0} e {5, -4, 0, 0} cada uma teria uma massa de repouso de 3 unidades, mas sua massa total seria de 10. Note-se que a (pseudo)norma do quadrivetor {t, x, y, z} é t 2 − x 2 − y 2 − z 2 {\displaystyle {\sqrt {t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}} .