Teorema de Menelaus

O teorema de Menelaus é util na resolução de problemas envolvendo triângulos e está relacionado com conjuntos de determinados pontos que são colineares, ou com conjuntos de segmentos que são concorrentes.

Demonstração

Considere um triângulo ${\displaystyle ABC}$ e uma reta ${\displaystyle r}$ que corte os lados ${\displaystyle AC}$, ${\displaystyle AB}$ e ${\displaystyle BC}$ nos pontos ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$, respectivamente.

Traça-se as perpendiculares que saem dos vértices do triângulo ${\displaystyle ABC}$ à reta ${\displaystyle r}$.

Façamos semelhança de triângulos^[1].

${\displaystyle BPM\sim AQM}$

${\displaystyle {\frac {MA}{MB}}={\frac {h_{2}}{h_{1}}}}$

${\displaystyle NRC\sim NPB}$

${\displaystyle {\frac {NB}{NC}}={\frac {h_{1}}{h_{3}}}}$

${\displaystyle RLC\sim ALQ}$

${\displaystyle {\frac {LC}{LA}}={\frac {h_{3}}{h_{2}}}}$

Multipliquemos as três equações:

${\displaystyle {\frac {MA}{MB}}\cdot {\frac {NB}{NC}}\cdot {\frac {LC}{LA}}={\frac {h_{2}}{h_{1}}}\cdot {\frac {h_{1}}{h_{3}}}\cdot {\frac {h_{3}}{h_{2}}}}$

Finalmente:

${\displaystyle {\frac {MA}{MB}}\cdot {\frac {NB}{NC}}\cdot {\frac {LC}{LA}}=1}$

Aplicação

No triângulo ${\displaystyle ABC}$, determine a razão ${\displaystyle {\frac {EA}{EC}}}$.

Aplicando o teorema de Menelaus, temos:

${\displaystyle {\frac {FA}{FB}}\cdot {\frac {DB}{DC}}\cdot {\frac {EC}{EA}}=1}$

${\displaystyle {\frac {4}{1}}\cdot {\frac {5}{3}}\cdot {\frac {EC}{EA}}=1}$

${\displaystyle {\frac {EC}{EA}}={\frac {3}{20}}}$

${\displaystyle {\frac {EA}{EC}}={\frac {20}{3}}}$

Menelau, o criador do teorema

Menelau nasceu em Alexandria, Egito por volta de 100 d.C foi astrônomo e geômetra, foi o primeiro a escrever a definição de triângulos esféricos, produziu um tratado sobre cordas num círculo, em seis livros, porém vários deles se perderam. Felizmente o seu tratado Sphaerica, em três livros, se preservou numa versão árabe e o trabalho mais antigo conhecido sobre trigonometria esférica. Menelau também continuou os trabalhos de Hiparco em trigonometria, mas demonstrou interessantíssimo teorema, que leva o seu nome. Ardente defensor da geometria clássica e criador do tradicional teorema de Menelau escreveram várias obras de trigonometria e geometria. Menelau morreu em lugar incerto, talvez na própria Alexandria.

Ver também

• Bissetriz
• Teorema de Ceva

Referências

• Portal da matemática