Eulers ekvationer

Eulers ekvationer beskriver rörelsen hos ideala fluider, dvs inkompressibla fluider med konstant densitet. Ekvationerna formulerades av Leonhard Euler 1755.

Kraften som verkar på ett fluidelement beskrivs av

p n δ S {\displaystyle p\mathbf {n} \delta \mathbf {S} }

där p(x,y,z,t) är en skalär funktion oberoende av normalen, n, och benämns tryck.

Om vi fixerar en kub med volymen, V, i fluiden och sidan S som har normalen riktad ut från kuben, så kommer flödet in i V via vissa delar av S och ut från andra. Hastighetskomponenten längs normalen är u ⋅ {\displaystyle \cdot } n, vilket ger att volymen som lämnar kuben genom en liten del av ytan, δ {\displaystyle \delta } S under en tidsenhet blir u ⋅ {\displaystyle \cdot } n δ {\displaystyle \delta } S. Nettovolymen av utflödet blir då

∫ S u ⋅ n d S {\displaystyle \int _{S}\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} d\mathbf {S} }

Detta är självklart noll för en inkompressibel fluid och med hjälp av divergenssatsen fås

∫ V ∇ ⋅ u d V = 0 {\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot \mathbf {u} d\mathbf {V} =0}

Detta måste vara sant i hela fluiden. Anta nu att ∇ ⋅ u {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} } är större än noll i någon punkt i fluiden. Förutsatt kontinuitet[förtydliga] ger det att ∇ ⋅ u {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} } är större än noll i en liten sfär runt punkten och om V skulle vara den sfären så strider det mot ovanstående ekvation. Samma sak fås om ∇ ⋅ u {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} } är mindre än noll och därmed kan vi dra slutsatsen att

∇ ⋅ u = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}

överallt i fluiden.

Följderna av uttrycket för kraften tydliggörs genom att betrakta en färgad blob av fluiden. Nettokraften som utövas på blobben är

− ∫ S p n d S = − ∫ V ∇ p d V {\displaystyle -\int _{S}p\mathbf {n} d\mathbf {S} =-\int _{V}\nabla pd\mathbf {V} }

Minustecknen kommer av att n är riktad ut från S. Förutsatt att ∇ p {\displaystyle \nabla p} är kontinuerlig, kommer trycket att vara konstant över en liten blob med volymen δ {\displaystyle \delta } V. Nettokraften blir då ∇ p δ {\displaystyle \nabla p\delta } V över blobben.

Nu kan vi lägga till gravitationens inverkan och får

( − ∇ p + ρ g ) δ V {\displaystyle (-\nabla p+\rho \mathbf {g} )\delta V}

Denna kraft måste vara samma som produkten av blobbens massa (som är konserverad) och dess acceleration, vilket är

ρ δ V D u D t {\displaystyle \rho \delta V{\frac {{\mbox{D}}\mathbf {u} }{{\mbox{D}}t}}}

Därmed får vi

D u D t = − 1 ρ ∇ p + g {\displaystyle {\frac {{\mbox{D}}\mathbf {u} }{{\mbox{D}}t}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\mathbf {g} }
∇ ⋅ u = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}

som är de grundläggande rörelseekvationerna för en ideal fluid (Eulers ekvationer). Utskrivna blir de

∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z = − 1 ρ ∂ p ∂ x , {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}},}
∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z = − 1 ρ ∂ p ∂ y , {\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}+w{\frac {\partial v}{\partial z}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}},}
∂ w ∂ t + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z = − 1 ρ ∂ p ∂ z − g , {\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial t}}+u{\frac {\partial w}{\partial x}}+v{\frac {\partial w}{\partial y}}+w{\frac {\partial w}{\partial z}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}-g,}
∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}=0}

Eftersom gravitationen är konservativ kan den skrivas som gradienten till en potential:

g = − ∇ ξ {\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \xi }

Nu kan Euler's ekvation skrivas om på formen

∂ u ∂ t + ( u ⋅ ∇ ) u = − ∇ ( p ρ + ξ ) {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =-\nabla \left({\frac {p}{\rho }}+\xi \right)}

där ρ {\displaystyle \rho } förutsätts konstant.

Vidare kan det vara användbart att utnyttja identiteten

( u ⋅ ∇ ) u = ( ∇ × u ) × u + 1 2 ∇ ( u 2 ) {\displaystyle (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\frac {1}{2}}\nabla (\mathbf {u} ^{2})}

för att få rörelseekvationen på formen

∂ u ∂ t + ( ∇ × u ) × u = − ∇ ( p ρ + 1 2 u 2 + ξ ) {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} =-\nabla \left({\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}\mathbf {u} ^{2}+\xi \right)}

Vilket leder till Bernoulli's[förtydliga] strömlinjeteorem.

Källor

  • D.J. Acheson, Elementary Fluid Dynamics, Oxford applied mathematics and computing science series. ISBN 978-0-19-859679-0.