Satsen om den slutna grafen

Satsen om den slutna grafen är ett grundläggande resultat inom funktionalanalysen som karakteriserar kontinuerliga linjära operatorer mellan två Banachrum med hjälp av deras grafer.

Satsen

För en funktion ${\displaystyle T:X\to Y}$ definieras grafen av ${\displaystyle T}$ som mängden ${\displaystyle \lbrace (x,y)\in X\times Y\mid Tx=y\rbrace }$.

Satsen om den slutna grafen är: Om ${\displaystyle X}$ och ${\displaystyle Y}$ är Banachrum, och ${\displaystyle T:X\to Y}$ är en överalltdefinierad linjär operator (dvs. att definitionsmängden ${\displaystyle D_{T}}$ för ${\displaystyle T}$ är ${\displaystyle X}$), då är ${\displaystyle T}$ kontinuerlig (eller begränsad), om och endast om den är en sluten operator; det vill säga att grafen är sluten i ${\displaystyle X\times Y}$ (med produkttopologin).

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från danska Wikipedia.