Täthetsfunktion

Inom sannolikhetsteori ger täthetsfunktionen en bild av hur sannolika olika resultat är i förhållande till varandra till skillnad från fördelningsfunktionen som ger sannolikheten att variabeln antar värden som "ligger till vänster" om en given punkt ${\displaystyle x}$ på talaxeln, dvs. inom intervallet ${\displaystyle [x,x+dx]}$.

Ett annat vanligt namn på täthetsfunktionen är frekvensfunktion,^[1] men skall man vara precis gör man distinktionen frekvensfunktion eller sannolikhetsfunktion för diskreta stokastiska variabler och täthetsfunktion för kontinuerliga.^[2][3][4][5]

Kontinuerlig endimensionell täthetsfunktion

Givet en kontinuerlig slumpvariabel (stokastisk variabel) ${\displaystyle X}$ beskriver täthetsfunktionen ${\displaystyle f(x)}$ sannolikheten att variabeln ska anta värden mellan ${\displaystyle a}$ och ${\displaystyle b}$ med hjälp av formeln

${\displaystyle \Pr(a<X\leq b)=\int _{a}^{b}f(u)\,du}$

Om ${\displaystyle F(x)}$ är den kumulativa fördelningsfunktionen för ${\displaystyle X}$ så erhålles den ur

${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(u)\,du}$

och om ${\displaystyle f(x)}$ är kontinuerlig i ${\displaystyle x}$ så är

${\displaystyle f(x)={\frac {d}{dx}}F(x)}$.

Diskret endimensionell frekvensfunktion

Givet en diskret stokastisk variabel ${\displaystyle X}$ ges frekvensfunktionen av

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}\Pr(X=x_{i})\,\delta (x-x_{i}),}$

Formell definition

För den stokastiska variabeln ${\displaystyle X}$ kan man associera en täthetsfunktion ${\displaystyle f(x)}$ som uppfyller villkoren:

1. Icke-negativitet för alla ${\displaystyle x}$,
2. Dess integral över alla x är lika med 1.

En täthetsfunktion som inte uppfyller det sista villkoret kallas onormerad.

Se även

• sannolikhetsfördelning
• stokastisk variabel
• matematisk statistik
• normalfördelning

Referenser