Ultrafilter

Ej att förväxla med ultrafiltrering.

Inom matematiken, framförallt i mängdteori och modellteori är begreppet ultrafilter ett sätt att formalisera idén om en "stor" delmängd av en mängd M.

Definition

Given en mängd M är ett filter F på M en icke-tom mängd av delmängder till M som satisfierar följnade villkor:

  1. Om U ∈ F {\displaystyle U\in F} och U ⊆ V {\displaystyle U\subseteq V} är V ∈ F {\displaystyle V\in F}
  2. Om U ∈ F {\displaystyle U\in F} och V ∈ F {\displaystyle V\in F} är U ∩ V ∈ F {\displaystyle U\cap V\in F}

Ett filter F på M säges vara ett ultrafilter om det är maximalt, d.v.s. om följande villkor är uppfyllt:

  1. För varje A ⊆ M {\displaystyle A\subseteq M} gäller A ∈ F {\displaystyle A\in F} eller M ∖ A ∈ F {\displaystyle M\backslash A\in F}

Ett ultrafilter F på M säges vara principiellt om det finns ett element m ∈ M {\displaystyle m\in M} så att:

  • F m = { A ⊆ M ∣ m ∈ A } {\displaystyle F_{m}=\{A\subseteq M\mid m\in A\}} .

Existens

Ett principiellt ultrafilter på en mängd M existerar trivialt för varje m ∈ M {\displaystyle m\in M} . Med hjälp av urvalsaxiomet kan man visa att det på varje oändlig mängd finns ett icke-principiellt ultrafilter.

Användning

Ultrafilter används för att konstruera ultraprodukter, som används i mängdteori och modellteori.