Sinus und Kosinus

Sinus- und Kosinusfunktion (auch Cosinusfunktion) sind elementare mathematische Funktionen. Vor Tangens und Kotangens sowie Sekans und Kosekans sind sie die wichtigsten trigonometrischen Funktionen. Sinus und Kosinus werden unter anderem in der Geometrie für Dreiecksberechnungen in der ebenen und sphärischen Trigonometrie benötigt. Auch in der Analysis sind sie wichtig.

Wellen wie Schallwellen, Wasserwellen und elektromagnetische Wellen lassen sich als Zusammensetzung aus Sinus- und Kosinuswellen beschreiben, sodass die Funktionen auch in der Physik als harmonische Schwingungen allgegenwärtig sind.

Herkunft des Namens

Die lateinische Bezeichnung Sinus „Bogen, Krümmung, Busen“ für diesen mathematischen Begriff wählte Gerhard von Cremona 1175^[1] als Übersetzung der arabischen Bezeichnung dschaib oder dschība / جيب / ‚Tasche, Kleiderfalte‘, selbst entlehnt von Sanskrit jiva „Bogensehne“ indischer Mathematiker.

Die Bezeichnung „Cosinus“ ergibt sich aus complementi sinus, also Sinus des Komplementärwinkels. Diese Bezeichnung wurde zuerst in den umfangreichen trigonometrischen Tabellen verwendet, die von Georg von Peuerbach und seinem Schüler Regiomontanus erstellt wurden.^[2]

Geometrische Definition

Definition am rechtwinkligen Dreieck

Alle ebenen, zueinander ähnlichen Dreiecke haben gleiche Winkel und gleiche Längenverhältnisse der Seiten.

Diese Eigenschaft wird benutzt, um Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck durchzuführen. Sind nämlich die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck bekannt, lassen sich die Maße von Winkeln und die Längen von Seiten berechnen. Deshalb haben die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck auch besondere Namen.

Die Längenverhältnisse der drei Seiten im rechtwinkligen Dreieck sind nur vom Maß eines der beiden spitzen Winkel abhängig. Denn die Innenwinkelsumme in jedem Dreieck beträgt 180°. Und weil im rechtwinkligen Dreieck ein Winkel, nämlich der rechte Winkel, mit 90° bekannt ist, müssen die beiden anderen Winkel in der Summe ebenfalls 90° ergeben. Deswegen wird das Maß eines dieser Winkel durch das Maß des anderen Winkels bereits festgelegt. Aufgrund der Kongruenzsätze (z. B. WSW) hängen die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck nur noch vom Maß eines der beiden spitzen Winkel ab.

Deshalb werden die Längenverhältnisse in Abhängigkeit eines der beiden spitzen Winkel wie folgt definiert:

Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der Gegenkathete (Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt) zur Länge der Hypotenuse (Seite gegenüber dem rechten Winkel).

${\displaystyle {\text{Sinus eines Winkels}}={\frac {\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}}}$

Der Kosinus ist das Verhältnis der Länge der Ankathete (das ist jene Kathete, die einen Schenkel des Winkels bildet) zur Länge der Hypotenuse.

${\displaystyle {\text{Kosinus eines Winkels}}={\frac {\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}}}$

Bei den für Dreiecke üblichen Bezeichnungen der Größen (siehe Abbildung) gilt hier:

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{c}}\quad {\text{und}}\quad \cos \alpha ={\frac {b}{c}}}$

Da die Hypotenuse die längste Seite eines Dreiecks ist (denn sie liegt dem größten Winkel, also dem rechten Winkel, gegenüber), gelten die Ungleichungen ${\displaystyle \sin \alpha \leq 1}$ und ${\displaystyle \cos \alpha \leq 1}$.

Wird statt von α von dem gegenüberliegenden Winkel β ausgegangen, so wechseln beide Katheten ihre Rolle, die Ankathete von α wird zur Gegenkathete von β, die Gegenkathete von α bildet nun die Ankathete von β und es gilt:

${\displaystyle \sin \beta ={\frac {b}{c}}}$

${\displaystyle \cos \beta ={\frac {a}{c}}}$

Da im rechtwinkligen Dreieck ${\displaystyle \alpha +\beta =90^{\circ }}$ gilt, folgt:

${\displaystyle \cos \alpha =\sin(90^{\circ }-\alpha )=\sin \beta }$

und

${\displaystyle \sin \alpha =\cos(90^{\circ }-\alpha )=\cos \beta }$

Auf dieser Beziehung beruht auch die Bezeichnung Kosinus als Sinus des Komplementärwinkels.

Aus dem Satz des Pythagoras lässt sich die Beziehung („trigonometrischer Pythagoras“) ableiten:

${\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}$

Im rechtwinkligen Dreieck sind Sinus und Kosinus nur für Winkel zwischen 0 und 90 Grad definiert. Für beliebige Winkel wird der Wert der Kosinusfunktion als ${\displaystyle x}$-Koordinate und der Wert der Sinusfunktion als ${\displaystyle y}$-Koordinate eines Punktes am Einheitskreis (siehe unten) definiert. Hier ist es üblich, den Wert, auf den die Funktion angewendet wird (hier: den Winkel), als Argument zu bezeichnen. Dies betrifft insbesondere die Winkelfunktionen und die komplexe Exponentialfunktion (siehe unten).

Definition am Einheitskreis

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel zwischen Hypotenuse und Kathete nur für Werte von 0 bis 90 Grad definiert. Für eine allgemeine Definition wird ein Punkt ${\displaystyle P}$ mit den Koordinaten ${\displaystyle (x,y)}$ auf dem Einheitskreis betrachtet, hier gilt ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$. Die positive ${\displaystyle x}$-Achse schließt mit dem Ortsvektor von ${\displaystyle P}$ einen Winkel ${\displaystyle \alpha }$ ein. Der Koordinatenursprung ${\displaystyle (0,0)}$, der Punkt ${\displaystyle (x,0)}$ auf der ${\displaystyle x}$-Achse und der Punkt ${\displaystyle P(x,y)}$ bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Länge der Hypotenuse beträgt ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=1}$. Die Ankathete des Winkels ${\displaystyle \alpha }$ ist die Strecke zwischen ${\displaystyle (0,0)}$ und ${\displaystyle (x,0)}$ und hat die Länge ${\displaystyle |x|}$. Es gilt:

${\displaystyle \cos \alpha =x}$

Die Gegenkathete des Winkels ${\displaystyle \alpha }$ ist die Strecke zwischen ${\displaystyle (x,0)}$ und ${\displaystyle (x,y)}$ und hat die Länge ${\displaystyle |y|}$. Somit gilt:

${\displaystyle \sin \alpha =y}$

Wegen des Strahlensatzes ist die folgende Definition des Tangens wohldefiniert:

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}}$

Die ${\displaystyle x}$-Koordinate eines Punktes im ersten Quadranten des Einheitskreises ist also der Kosinus des Winkels zwischen seinem Ortsvektor und der ${\displaystyle x}$-Achse, während die ${\displaystyle y}$-Koordinate der Sinus dieses Winkels ist. Die Fortsetzung über den ersten Quadranten hinaus ergibt eine Definition von Sinus und Kosinus für beliebige Winkel.

Die Umkehrungen der Sinus- und Kosinusfunktion sind nicht eindeutig. Zu jeder Zahl ${\displaystyle y}$ zwischen −1 und 1 (${\displaystyle -1<y<1}$) gibt es schon zwischen 0° und 360° (${\displaystyle 0^{\circ }<\alpha \leq 360^{\circ }}$) immer genau zwei Winkel. Symmetrien der Winkelfunktionen erkennt man an folgenden Beziehungen:

Punktsymmetrien:

${\displaystyle \sin(-\alpha )=-\sin \alpha }$

${\displaystyle \cos(90^{\circ }+\alpha )=-\cos(90^{\circ }-\alpha )}$

Achsensymmetrien:

${\displaystyle \cos(-\alpha )=\cos \alpha }$

${\displaystyle \sin(90^{\circ }+\alpha )=\sin(90^{\circ }-\alpha )}$

Der Sinus ist also eine ungerade Funktion, der Kosinus eine gerade.

Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen mit der Periode 360 Grad. (Man kann einen Winkel von beispielsweise 365° nicht von einem Winkel von 5° unterscheiden. Aber der eine beschreibt eine Drehbewegung von reichlich einer Umdrehung, der andere eine sehr kleine Drehbewegung ‒ nur eine zweiundsiebzigstel Umdrehung.) Also gilt auch

${\displaystyle \sin(\alpha +k\cdot 360^{\circ })=\sin \alpha }$

sowie

${\displaystyle \cos(\alpha +k\cdot 360^{\circ })=\cos \alpha }$,

wobei ${\displaystyle k}$ eine beliebige ganze Zahl ist. Es gibt also nicht nur die Symmetrien zu ${\displaystyle \alpha =0^{\circ }}$ (cos) bzw. ${\displaystyle \alpha =90^{\circ }}$ (sin) und zu ${\displaystyle (0^{\circ }|0)}$ (sin) bzw. ${\displaystyle (90^{\circ }|0)}$ (cos), sondern unendlich viele Symmetrieachsen und Symmetriezentren für beide Funktionen.

Die Entstehung der Sinus- und Kosinusfunktion aus der Drehbewegung eines Winkelschenkels beginnend bei der ${\displaystyle x}$-Achse veranschaulicht folgende Animation. Der Winkel wird im Bogenmaß gemessen. Ein Winkel von ${\displaystyle 360^{\circ }}$ entspricht einem Bogenmaß von ${\displaystyle 2\pi }$.

Analytische Definition

Sinus und Kosinus können auch auf einer axiomatischen Basis behandelt werden; dieser formalere Zugang spielt auch in der Analysis eine Rolle. Die analytische Definition erlaubt zusätzlich die Erweiterung auf komplexe Argumente. Sinus und Kosinus als komplexwertige Funktion aufgefasst sind holomorph und surjektiv.

Motivation durch Taylorreihen

Sinus und Kosinus sind als Funktionen von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$ erklärt. Sie sind beliebig oft differenzierbar. Für die Ableitungen im Nullpunkt gilt:

${\displaystyle \sin ^{(4n+k)}0=\sin {\frac {k\,\pi }{2}}=\left\{{\begin{matrix}0&{\text{wenn }}k=0\\1&{\text{wenn }}k=1\\0&{\text{wenn }}k=2\\-1&{\text{wenn }}k=3\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle \cos ^{(4n+k)}0=\cos {\frac {k\,\pi }{2}}=\left\{{\begin{matrix}1&{\text{wenn }}k=0\\0&{\text{wenn }}k=1\\-1&{\text{wenn }}k=2\\0&{\text{wenn }}k=3\end{matrix}}\right.}$

Die sich daraus ergebenden Taylorreihen stellen die Funktionen ${\displaystyle \sin }$ und ${\displaystyle \cos }$ dar, das heißt:

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}={\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}\mp \dotsb }$

${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}={\frac {x^{0}}{0!}}-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}\mp \dotsb }$

Reihenentwicklung in der Analysis

In der Analysis geht man umgekehrt von den Reihenentwicklungen aus und leitet daraus alles her, indem die Funktionen sin und cos durch die oben angegebenen Potenzreihen erklärt werden. Mit dem Quotientenkriterium lässt sich zeigen, dass diese Potenzreihen für jede komplexe Zahl ${\displaystyle x}$ absolut und in jeder beschränkten Teilmenge der komplexen Zahlen gleichmäßig konvergieren. Diese unendlichen Reihen verallgemeinern die Definition des Sinus und des Kosinus von reellen auf komplexe Argumente. Auch ${\displaystyle \pi }$ wird dort üblicherweise nicht geometrisch, sondern beispielsweise über die cos-Reihe und die Beziehung ${\displaystyle \cos {\tfrac {\pi }{2}}=0}$ als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle der Kosinusfunktion definiert. Damit ist eine präzise analytische Definition von ${\displaystyle \pi }$ gegeben.

Für kleine Werte zeigen diese Reihen ein sehr gutes Konvergenzverhalten. Zur numerischen Berechnung lassen sich daher die Periodizität und Symmetrie der Funktionen ausnutzen und der ${\displaystyle x}$-Wert bis auf den Bereich ${\displaystyle -\pi /4}$ bis ${\displaystyle \pi /4}$ reduzieren. Danach sind je nach geforderter Genauigkeit nur noch relativ wenige Glieder der Reihe zu berechnen. Das Taylorpolynom der Kosinusfunktion bis zur vierten Potenz z. B. hat im Intervall ${\displaystyle [-\pi /4,\pi /4]}$ einen relativen Fehler von unter 0,05 %. Im Artikel Taylor-Formel sind einige dieser Taylorpolynome grafisch dargestellt und man findet eine Näherungsformel mit Genauigkeitsangabe. Zu beachten ist allerdings, dass die Teilsummen der Taylorpolynome nicht die bestmögliche numerische Approximation darstellen; beispielsweise in Abramowitz-Stegun finden sich Näherungspolynome mit noch kleinerem Approximationsfehler.^[3]

Beziehung zur Exponentialfunktion

Die trigonometrischen Funktionen sind eng mit der Exponentialfunktion verbunden, wie folgende Rechnung zeigt:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\mathrm {i} x)^{k}}{k!}}=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(\mathrm {i} x)^{2l}}{(2l)!}}+\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(\mathrm {i} x)^{2l+1}}{(2l+1)!}}\\&=\underbrace {\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}{\frac {x^{2l}}{(2l)!}}} _{\cos x}+\mathrm {i} \underbrace {\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}{\frac {x^{2l+1}}{(2l+1)!}}} _{\sin x}\\&=\cos x+\mathrm {i} \sin x\end{aligned}}}$

Dabei wurde verwendet:

${\displaystyle \mathrm {i} ^{2l}=(\mathrm {i} ^{2})^{l}=(-1)^{l}}$

${\displaystyle \mathrm {i} ^{2l+1}=\mathrm {i} \cdot \mathrm {i} ^{2l}=\mathrm {i} \cdot (-1)^{l}}$

Somit ergibt sich die sogenannte Eulerformel:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}=\cos x+\mathrm {i} \cdot \sin x}$

Für eine reelle Zahl ${\displaystyle x}$ ist also ${\displaystyle \cos(x)}$ der Realteil und ${\displaystyle \sin(x)}$ der Imaginärteil der komplexen Zahl ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}$.

Durch Ersetzung von ${\displaystyle x}$ durch ${\displaystyle -x}$ ergibt sich:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}=\cos x-\mathrm {i} \cdot \sin x}$

Diese und die vorangegangenen Gleichungen lassen sich nach den trigonometrischen Funktionen auflösen. Es folgt:

${\displaystyle \sin x={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)}$

${\displaystyle \cos x={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)}$

Diese Gleichungen gelten nicht nur für reelle Argumente, sondern für beliebige komplexe Zahlen. Somit ergibt sich eine alternative Definition für die Sinus- und Kosinusfunktion. Durch Einsetzen der Exponentialreihe leiten sich die oben vorgestellten Potenzreihen ab.

Ausgehend von dieser Definition lassen sich viele Eigenschaften, wie zum Beispiel die Additionstheoreme des Sinus und Kosinus, nachweisen.

Definition über das Integral

Der Sinus ist die Umkehrfunktion des Integrals zur Berechnung der Bogenlänge ${\displaystyle s(r)}$

${\displaystyle s(r)=\int _{0}^{r}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\qquad {\text{und}}\qquad \int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}={\frac {\pi }{2}},}$

also ${\displaystyle r=\sin s}$ und ${\displaystyle \cos s=\sin({\tfrac {\pi }{2}}-s)}$ (siehe unten).

Definition über analytische Berechnung der Bogenlänge

Die Definition des Sinus und Kosinus als Potenzreihe liefert einen sehr bequemen Zugang, da die Differenzierbarkeit durch die Definition als konvergente Potenzreihe automatisch gegeben ist. Die Eulerformel ist ebenfalls eine einfache Konsequenz aus den Reihendefinitionen, da sich die Reihen für ${\displaystyle \cos }$ und ${\displaystyle \mathrm {i} \sin }$ ganz offenbar zur Exponentialfunktion zusammenfügen, wie oben gezeigt wurde. Durch Betrachtung der Funktion ${\displaystyle x\mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}$, die das Intervall ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ auf die Kreislinie abbildet, ergibt sich die Beziehung zur Geometrie, denn ${\displaystyle \cos(x)}$ und ${\displaystyle \sin(x)}$ sind nichts weiter als der Real- bzw. Imaginärteil von ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}$, das heißt die Projektionen dieses Punktes auf die Koordinatenachsen.

Neben ${\displaystyle x\mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}$ gibt es auch andere sinnvolle Parametrisierungen des Einheitskreises, etwa

${\displaystyle \gamma (t)=\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right),\quad -\infty <t<\infty .}$

Geht man von dieser Formel aus, erhält man einen alternativen Zugang. Die Länge dieser Kurve wird auch als Bogenlänge bezeichnet und berechnet sich zu

${\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}|{\dot {\gamma }}(\tau )|\,\mathrm {d} \tau =\int _{0}^{t}{\frac {2\,\mathrm {d} \tau }{\tau ^{2}+1}}.}$

Wie leicht zu zeigen ist, ist ${\displaystyle s(t)}$ ungerade, stetig, streng monoton wachsend und beschränkt. Da die gesamte Bogenlänge dem Kreisumfang entspricht, folgt, dass das Supremum von ${\displaystyle s(t)}$ gleich ${\displaystyle \pi }$ ist; ${\displaystyle \pi }$ wird bei dieser Vorgangsweise analytisch als Supremum von ${\displaystyle s(t)}$ definiert.

Die Funktion

${\displaystyle s(t)\colon \mathbb {R} \to (-\pi ,\pi )}$

ist auch differenzierbar:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {2}{1+t^{2}}}}$

Weil sie stetig und streng monoton wachsend ist, ist sie auch invertierbar, und für die Umkehrfunktion

${\displaystyle t(s)\colon (-\pi ,\pi )\to \mathbb {R} }$

gilt:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} s}}={\frac {1+t^{2}(s)}{2}}}$

Mit Hilfe dieser Umkehrfunktion ${\displaystyle t(s)}$ lassen sich nun Sinus und Kosinus als ${\displaystyle y}$- und ${\displaystyle x}$-Komponente von ${\displaystyle \gamma }$ analytisch definieren:

${\displaystyle \sin s:={\frac {2t(s)}{1+t^{2}(s)}}}$

${\displaystyle \cos s:={\frac {1-t^{2}(s)}{1+t^{2}(s)}}}$

Bei dieser Definition des Sinus und Kosinus über die analytische Berechnung der Bogenlänge werden die geometrischen Begriffe sauber formalisiert. Sie hat allerdings den Nachteil, dass im didaktischen Aufbau der Analysis der Begriff der Bogenlänge erst sehr spät formal eingeführt wird und daher Sinus und Kosinus erst relativ spät verwendet werden können.

Definition als Lösung einer Funktionalgleichung

Ein anderer analytischer Zugang ist, Sinus und Kosinus als Lösung einer Funktionalgleichung zu definieren, die im Wesentlichen aus den Additionstheoremen besteht: Gesucht ist ein Paar stetiger Funktionen ${\displaystyle \sin ,\cos \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, das für alle ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ die Gleichungen

${\displaystyle \sin(x+y)=\sin x\,\cos y+\cos x\,\sin y}$

${\displaystyle \cos(x+y)=\cos x\,\cos y-\sin x\,\sin y}$

erfüllt. Die Lösung ${\displaystyle \sin }$ definiert dann den Sinus, die Lösung ${\displaystyle \cos }$ den Kosinus. Um Eindeutigkeit zu erreichen, sind einige Zusatzbedingungen zu erfüllen. In Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1 wird zusätzlich gefordert, dass

${\displaystyle \sin x}$ eine ungerade Funktion,

${\displaystyle \cos x}$ eine gerade Funktion,

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}$ und

${\displaystyle \cos 0=1}$

ist. Bei diesem Zugang wird offensichtlich die Differenzierbarkeit des Sinus an der Stelle 0 vorausgesetzt; ${\displaystyle \pi }$ wird in weiterer Folge analytisch als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus definiert. Verwendet man den Zugang von Leopold Vietoris^[4] und berechnet die Ableitung des Sinus aus den Additionstheoremen, so ist es zweckmäßiger, ${\displaystyle \pi }$ auf geeignete Weise analytisch (beispielsweise als Hälfte des Grenzwerts des Umfangs des dem Einheitskreis eingeschriebenen ${\displaystyle 2^{n}}$-Ecks) zu definieren und dann die Differenzierbarkeit der Lösung dieser Funktionalgleichung zu beweisen. Als Zusatzbedingung zu den Additionstheoremen fordert man dann beispielsweise:

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2}}=1}$,

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2}}=0}$ und

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2n}}\neq 0}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \backslash \lbrace 1\rbrace }$.

Unter den gewählten Voraussetzungen ist die Eindeutigkeit der Lösung der Funktionalgleichung relativ einfach zu zeigen; die geometrisch definierten Funktionen Sinus und Kosinus lösen auch die Funktionalgleichung. Die Existenz einer Lösung lässt sich analytisch beispielsweise durch die Taylorreihen von Sinus und Kosinus oder eine andere der oben verwendeten analytischen Darstellungen von Sinus und Kosinus die Funktionalgleichung nachweisen und tatsächlich lösen.

Produktentwicklung

Die Kreisfunktionen Sinus und Cosinus haben folgende zwei Produktentwicklungen:

${\displaystyle \sin {x}=\prod _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {x+k\pi }{{\frac {\pi }{2}}+k\pi }}=x\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\pi ^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \cos {x}=\prod _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {x+k\pi +{\frac {\pi }{2}}}{{\frac {\pi }{2}}+k\pi }}=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {4x^{2}}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right)}$

Die genannte Produktentwicklung für den Sinus zog der schweizerische Mathematiker Leonhard Euler für den Beweis vom Basler Problem heran.

Der ebenso nach diesem Mathematiker benannte Eulersche Ergänzungssatz für die Fakultätsfunktion 𝚷(n) liefert in Kombination mit der Eulerschen Produktdefinition der Fakultätsfunktion direkt die gezeigte Produktformel für die trigonometrische Sinusfunktion:

${\displaystyle \sin(x)={\frac {x}{\Pi (x\div \pi )\,\Pi (-x\div \pi )}}}$

${\displaystyle w!=\Pi (w)=\Gamma (w+1)=\prod _{n=1}^{\infty }{\bigl (}1+{\frac {1}{n}}{\bigr )}^{w}{\bigl (}1+{\frac {w}{n}}{\bigr )}^{-1}}$

Mit dem Buchstaben des kleinen ${\displaystyle \pi }$ ist hier in der Tat die Kreiszahl gemeint.

Jedoch steht das große ${\displaystyle \Pi }$ in der genannten Formel für die Gaußsche Pifunktion also für die kontinuisierte Form der Fakultätsfunktion.

Regeln über den Wertebereich

Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus

${\displaystyle \sin \alpha =-\cos \left(\alpha +90^{\circ }\right)=\cos \left(\alpha -90^{\circ }\right)}$ (Gradmaß)

${\displaystyle \sin \alpha =-\cos \left(\alpha +\pi /2\right)=\cos \left(\alpha -\pi /2\right)}$ (Bogenmaß)

${\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}$ („trigonometrischer Pythagoras“)

Insbesondere folgt daraus ${\displaystyle |{\sin \alpha }|\leq 1}$ und ${\displaystyle |{\cos \alpha }|\leq 1}$. Diese Ungleichungen gelten aber nur für reelle Argumente ${\displaystyle \alpha }$; für komplexe Argumente können Sinus und Kosinus beliebige Werte annehmen.

Verlauf des Sinus in den vier Quadranten

In den vier Quadranten ist der Verlauf der Sinusfunktion folgendermaßen:

Quadrant	Gradmaß	Bogenmaß	Bildmenge	Monotonie	Konvexität	Punkttyp
	${\displaystyle 0^{\circ }}$	0	0			Nullstelle, Wendepunkt
1. Quadrant	${\displaystyle 0^{\circ }<x<90^{\circ }}$	${\displaystyle 0<x<\pi /2}$	positiv: ${\displaystyle 0<\sin x<1}$	steigend	konkav
	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle \pi /2}$	1			Maximum
2. Quadrant	${\displaystyle 90^{\circ }<x<180^{\circ }}$	${\displaystyle \pi /2<x<\pi }$	positiv: ${\displaystyle 0<\sin x<1}$	fallend	konkav
	${\displaystyle 180^{\circ }}$	${\displaystyle \pi }$	0			Nullstelle, Wendepunkt
3. Quadrant	${\displaystyle 180^{\circ }<x<270^{\circ }}$	${\displaystyle \pi <x<3\pi /2}$	negativ: ${\displaystyle -1<\sin x<0}$	fallend	konvex
	${\displaystyle 270^{\circ }}$	${\displaystyle 3\pi /2}$	${\displaystyle -1}$			Minimum
4. Quadrant	${\displaystyle 270^{\circ }<x<360^{\circ }}$	${\displaystyle 3\pi /2<x<2\pi }$	negativ: ${\displaystyle -1<\sin x<0}$	steigend	konvex

Für Argumente außerhalb dieses Bereiches ergibt sich der Wert des Sinus daraus, dass der Sinus periodisch mit der Periode 360° (bzw. 2π rad) ist, d. h. ${\displaystyle \sin(\alpha +360^{\circ })=\sin \alpha }$. Außerdem gilt ${\displaystyle \sin(\alpha +180^{\circ })=-\sin \alpha }$, ${\displaystyle \sin(90^{\circ }+\alpha )=\sin(90^{\circ }-\alpha )}$ , ${\displaystyle \sin(180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha }$ etc.

Verlauf des Kosinus in den vier Quadranten

Der Kosinus stellt einen um 90° (bzw. π/2 rad) phasenverschobenen Sinus dar und es gilt ${\displaystyle \cos \alpha =\sin(\alpha +90^{\circ })}$.

In den vier Quadranten ist der Verlauf der Kosinusfunktion daher folgendermaßen:

Quadrant	Gradmaß	Bogenmaß	Bildmenge	Monotonie	Konvexität	Punkttyp
	${\displaystyle 0^{\circ }}$	0	1			Maximum
1. Quadrant	${\displaystyle 0^{\circ }<x<90^{\circ }}$	${\displaystyle 0<x<\pi /2}$	positiv: ${\displaystyle 0<\cos x<1}$	fallend	konkav
	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle \pi /2}$	0			Nullstelle, Wendepunkt
2. Quadrant	${\displaystyle 90^{\circ }<x<180^{\circ }}$	${\displaystyle \pi /2<x<\pi }$	negativ: ${\displaystyle -1<\cos x<0}$	fallend	konvex
	${\displaystyle 180^{\circ }}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle -1}$			Minimum
3. Quadrant	${\displaystyle 180^{\circ }<x<270^{\circ }}$	${\displaystyle \pi <x<3\pi /2}$	negativ: ${\displaystyle -1<\cos x<0}$	steigend	konvex
	${\displaystyle 270^{\circ }}$	${\displaystyle 3\pi /2}$	${\displaystyle 0}$			Nullstelle, Wendepunkt
4. Quadrant	${\displaystyle 270^{\circ }<x<360^{\circ }}$	${\displaystyle 3\pi /2<x<2\pi }$	positiv: ${\displaystyle 0<\cos x<1}$	steigend	konkav

Für Argumente außerhalb dieses Bereiches lässt sich der Wert des Kosinus – so wie der des Sinus – periodisch mit der Periode 360° (bzw. 2π rad) bestimmen, d. h. ${\displaystyle \cos(\alpha +360^{\circ })=\cos \alpha }$. Außerdem gilt ${\displaystyle \cos(\alpha +180^{\circ })=-\cos \alpha }$.

Komplexes Argument

Für komplexe Argumente kann man Sinus und Kosinus entweder über die Reihenentwicklung oder über die Formeln

${\displaystyle \sin z={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}\right)}$

${\displaystyle \cos z={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}\right)}$

definieren.

Für komplexe Argumente ${\displaystyle z=x+\mathrm {i} \cdot {y}}$ gilt

${\displaystyle \sin z=\sin \left(x+\mathrm {i} \cdot {y}\right)=\sin x\,\cosh y+\mathrm {i} \cos x\,\sinh y}$

und

${\displaystyle \cos z=\cos \left(x+\mathrm {i} \cdot {y}\right)=\cos x\,\cosh y-\mathrm {i} \sin x\,\sinh y}$,

was aus den Additionstheoremen und den Zusammenhängen ${\displaystyle \sin \left(\mathrm {i} \cdot {y}\right)=\mathrm {i} \cdot {\sinh y}}$ sowie ${\displaystyle \cos \left(\mathrm {i} \cdot {y}\right)=\cosh y}$ hergeleitet werden kann, wobei ${\displaystyle \sinh }$ und ${\displaystyle \cosh }$ die Hyperbelfunktionen Sinus und Cosinus hyperbolicus bezeichnen.

Sinus und Kosinus sind für reelle Argumente auf Werte aus dem Intervall ${\displaystyle [-1,1]}$ beschränkt; im Definitionsbereich der komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ sind sie dagegen unbeschränkt, was aus dem Satz von Liouville folgt. Sinus und Kosinus können für komplexe Argumente sogar beliebige reelle oder komplexe Werte annehmen.

Zum Beispiel gilt:

${\displaystyle \cos \mathrm {i} =\cosh 1={\frac {\mathrm {e} ^{1}+\mathrm {e} ^{-1}}{2}}\approx 1{,}54}$

Für reelle ${\displaystyle x}$ nimmt ${\displaystyle \cos x}$ diesen Wert aber nie an.

In den Bildern auf der rechten Seite gibt die Farbe den Winkel des Arguments an, die Farbintensität den Betrag, wobei volle Intensität für kleine Werte steht und bei großen Beträgen ein Übergang zu weiß stattfindet. Die genaue Zuordnung ergibt sich aus nebenstehendem Bild, das jeder komplexen Zahl eine Farbe und eine Intensität zuordnet. An den Bildern zu Sinus und Kosinus ist erkennbar, dass auch im Komplexen Periodizität in ${\displaystyle x}$-Richtung vorliegt (nicht aber in ${\displaystyle y}$-Richtung) und dass Sinus und Kosinus durch eine Verschiebung um ${\displaystyle \pi /2}$ auseinander hervorgehen.

Spezielle Funktionswerte

Wichtigste Funktionswerte

Da Sinus und Kosinus periodische Funktionen mit der Periode ${\displaystyle 2\pi }$ (entspricht im Gradmaß ${\displaystyle 360^{\circ }}$) sind, reicht es, die Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen für den Bereich ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ (entspricht dem Bereich ${\displaystyle 0^{\circ }}$ bis ${\displaystyle 360^{\circ }}$) zu kennen. Funktionswerte außerhalb dieses Bereichs können also aufgrund der Periodizität durch den Zusammenhang

${\displaystyle \sin x=\sin(x+2k\pi )\quad {\text{und}}\quad \cos x=\cos(x+2k\pi )}$

bestimmt werden. In Gradmaß lautet der Zusammenhang analog:

${\displaystyle \sin x=\sin(x+k\cdot 360^{\circ })\quad {\text{und}}\quad \cos x=\cos(x+k\cdot 360^{\circ })}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ eine ganze Zahl. Die folgende Tabelle listet die wichtigen Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen in einer leicht zu merkenden Reihe auf.^[5]

Winkel (Grad)	Bogenmaß	Sinus	Kosinus
${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {0}}=0}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {4}}=1}$
${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {1}}={\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$
${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {1}}={\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {4}}=1}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {0}}=0}$

Weitere wichtige Werte sind:

Winkel (Grad)	Bogenmaß	Sinus	Kosinus
${\displaystyle 15^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}$
${\displaystyle 18^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{10}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}$
${\displaystyle 22{,}5^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{8}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$
${\displaystyle 36^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{5}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}$
${\displaystyle 54^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {3\pi }{10}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}$
${\displaystyle 67{,}5^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {3\pi }{8}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$
${\displaystyle 72^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{5}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)}$
${\displaystyle 75^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {5\pi }{12}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}$
${\displaystyle 180^{\circ }}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle 270^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 360^{\circ }}$	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$

Beweisskizzen der Werte

In folgender Liste werden die Beweise für die einzelnen Werte skizziert dargestellt:

• ${\displaystyle \cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$, weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) dann gleichschenklig ist, und nach Pythagoras gilt ${\displaystyle x^{2}+x^{2}=1^{2}\Rightarrow x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$.
• ${\displaystyle \cos 60^{\circ }=\sin 30^{\circ }={\tfrac {1}{2}}}$, weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) gespiegelt an der ${\displaystyle x}$-Achse dann gleichseitig ist (mit Seitenlänge 1) und somit die Gegenkathete (Sinus) die halbe Seitenlänge beträgt.
• ${\displaystyle \cos 30^{\circ }=\sin 60^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$, weil für das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) wegen ${\displaystyle \sin 30^{\circ }={\tfrac {1}{2}}}$ für den Cosinus nach Pythagoras gilt ${\displaystyle x^{2}+\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=1^{2}\ \Rightarrow \ x^{2}={\tfrac {3}{4}}\ \Rightarrow \ x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$.
• ${\displaystyle \cos 72^{\circ }=\sin 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}-1)}$, weil im Pentagramm das Inverse des Goldenen Schnitts auftritt, wobei der halbierte Winkel in den Spitzen gleich 18° ist.
• ${\displaystyle \cos 36^{\circ }=\sin 54^{\circ }={\tfrac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}})}$, weil im regelmäßigen Fünfeck der Goldene Schnitt auftritt, wobei der halbierte Innenwinkel gleich 54° ist.
• ${\displaystyle \cos 75^{\circ }=\sin 15^{\circ }}$ und ${\displaystyle \cos 15^{\circ }=\sin 75^{\circ }}$ lassen sich mit Hilfe der Halbwinkelformeln für Sinus und Kosinus herleiten.

Die Fünftel der Werte können unter anderem so ermittelt werden:

Zusammenhang zwischen Sinus und Cosinus: ${\displaystyle \sin {\bigl (}{\frac {\pi }{5}}{\bigr )}=\cos {\bigl (}{\frac {3\pi }{10}}{\bigr )}}$ Verdopplungstheorem des Sinus: ${\displaystyle \sin {\bigl (}{\frac {\pi }{5}}{\bigr )}=2\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}\cos {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}}$ Verdreifachungstheorem des Cosinus: ${\displaystyle \cos {\bigl (}{\frac {3\pi }{10}}{\bigr )}=\cos {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}{\bigl [}1-4\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}^{2}{\bigr ]}}$ Durch Kombination der drei nun genannten Formeln entsteht diese Gleichung: ${\displaystyle 2\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}\cos {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}=\cos {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}{\bigl [}1-4\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}^{2}{\bigr ]}}$ ${\displaystyle 2\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}=1-4\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}^{2}}$ ${\displaystyle 16\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}^{2}+8\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}=4}$ ${\displaystyle 16\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}^{2}+8\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}+1=5}$ ${\displaystyle {\bigl [}4\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}+1{\bigr ]}^{2}=5}$ ${\displaystyle 4\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}+1={\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle \sin {\bigl (}{\frac {\pi }{10}}{\bigr )}={\frac {1}{4}}({\sqrt {5}}-1)}$

Weitere mit Quadratwurzeln angebbare Funktionswerte

Der Mathematiker Carl Friedrich Gauß entdeckte die Tatsache, dass die Sinus- und Cosinuswerte von den Siebzehnteln des Vollwinkels auf rein quadratisch radikale Weise dargestellt werden kann. Damit bewies er, dass das reguläre Siebzehneck mit Zirkel und Lineal alleine konstruiert werden kann. Besonders effizient können die Cosinuswerte des Musters ${\displaystyle 2\pi z\div 17}$ mittels Lösen quadratischer Gleichungen ermittelt werden.

Tabellarisch lassen sich so nach Wickner insgesamt folgende Identitäten zusammenfassen:

Summe	Produkt	Radikalische Identität	Tangentielle Identität
${\displaystyle 2\cos \left({\frac {6\pi }{17}}\right)+2\cos \left({\frac {10\pi }{17}}\right)=}$	${\displaystyle 4\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)\cos \left({\frac {8\pi }{17}}\right)=}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}\left(-1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}\right)=}$	${\displaystyle \tan \left[{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]}$
${\displaystyle 2\cos \left({\frac {12\pi }{17}}\right)+2\cos \left({\frac {14\pi }{17}}\right)=}$	${\displaystyle 4\cos \left({\frac {4\pi }{17}}\right)\cos \left({\frac {16\pi }{17}}\right)=}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}\left(-1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}\right)=}$	${\displaystyle -\cot \left[{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]}$
${\displaystyle 2\cos \left({\frac {4\pi }{17}}\right)+2\cos \left({\frac {16\pi }{17}}\right)=}$	${\displaystyle 4\cos \left({\frac {6\pi }{17}}\right)\cos \left({\frac {10\pi }{17}}\right)=}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}\left(-1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}\right)=}$	${\displaystyle -\tan \left[{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]}$
${\displaystyle 2\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)+2\cos \left({\frac {8\pi }{17}}\right)=}$	${\displaystyle 4\cos \left({\frac {12\pi }{17}}\right)\cos \left({\frac {14\pi }{17}}\right)=}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}\left(-1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}\right)=}$	${\displaystyle \cot \left[{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]}$

Beispielsweise^[6] ergeben sich folgende Formeln:

${\displaystyle {\color {magenta}\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)}={\frac {1}{4}}\cot \left[{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]+{\frac {1}{4}}{\sqrt {\cot \left[{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]^{2}-4\tan \left[{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]}}}$

${\displaystyle {\color {magenta}\cos \left({\frac {8\pi }{17}}\right)}=\sin \left({\frac {\pi }{34}}\right)={\frac {1}{4}}\cot \left[{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]-{\frac {1}{4}}{\sqrt {\cot \left[{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]^{2}-4\tan \left[{\frac {1}{4}}\arctan(4)\right]}}}$

Diese Formeln gehen aus dem Werk Solution to Problem 1562: A Tangent and Cosine Identity des Mathematikers John Wickner hervor und erklären die Konstruktion des Siebzehnecks über die Winkelvierteilungen.

Mit Winkeldreiteilung angebbare Funktionswerte

Die trigonometrischen Werte der Siebtel und der Dreizehntel können vereinfacht mittels Winkeldreiteilung dargestellt werden. Daraus folgt, dass das reguläre Siebeneck und das reguläre Dreizehneck mit der Kombination der Werkzeuge Zirkel, Lineal und Winkeldreiteiler dargestellt werden können:

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{7}}\right)={\frac {\sqrt {3}}{4}}\sec \left[{\frac {1}{3}}\arctan \left({\frac {\sqrt {3}}{9}}\right)\right]}$

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{13}}\right)={\frac {1}{12}}{\sqrt {26+6{\sqrt {13}}}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {26-6{\sqrt {13}}}}\,\cos {\biggl [}{\frac {1}{3}}\arctan {\biggl (}{\frac {3{\sqrt {3}}}{5}}{\biggr )}{\biggr ]}}$

Mulitplikationsformeln und begrenzte Reihe

Die folgenden Multiplikationsformeln gelten für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und komplexen Argumente ${\displaystyle z}$:

${\displaystyle \sin {z}=2^{n-1}\prod \limits _{k=0}^{n-1}\sin {\frac {z+k\,\pi }{n}}}$

${\displaystyle \cos {z}=2^{n-1}\prod \limits _{k=0}^{n-1}\cos {\frac {z+\left(k-{\frac {n-1}{2}}\right)\,\pi }{n}}}$

Für alle Werte ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gilt auch folgende Summenreihe:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\cos {\frac {2\pi k}{n}}=0}$

Fixpunkte

Die Fixpunktgleichung ${\displaystyle \sin x=x}$ besitzt

${\displaystyle x=0}$

als einzige reelle Lösung.

Die Gleichung ${\displaystyle \cos x=x}$ hat als einzige reelle Lösung

${\displaystyle x=0{,}73908513321516\ldots }$   (Folge A003957 in OEIS).

Die Lösung dieser Fixpunktgleichung wurde bereits 1748 von Leonhard Euler untersucht.^[7] Sie ist ein einfaches Beispiel für einen nichttrivialen global attraktiven Fixpunkt. Das heißt, die Fixpunktiteration ${\displaystyle x_{n+1}=\cos x_{n}}$ konvergiert für jeden Startwert ${\displaystyle x_{0}}$ gegen die Lösung. Mit dem Satz von Lindemann-Weierstraß kann nachgewiesen werden, dass es sich dabei um eine transzendente Zahl handelt. Diese mathematische Konstante wird im englischen Sprachraum auch als Dottie number bezeichnet und mit dem armenischen Buchstaben ա (Ayb) abgekürzt.^[8]

Berechnung

Zur Berechnung von Sinus und Cosinus gibt es mehrere Verfahren. Die Wahl des Berechnungsverfahrens richtet sich nach Kriterien wie Genauigkeit, Geschwindigkeit der Berechnung und Leistungsfähigkeit der verwendeten Hardware wie zum Beispiel Mikrocontroller:

• Tabellierung aller benötigten Funktionswerte
• Tabellierung von Funktionswerten zusammen mit Interpolationsverfahren
• Berechnung mit dem CORDIC-Algorithmus
• Verwendung der Taylor-Reihe
• schnelle, aber grob genäherte Abschätzung mit Hilfe der Zwölftel-Regel

Die Tabellierung aller Werte ist angezeigt bei geschwindigkeitskritischen Echtzeitsystemen, wenn diese nur eine recht kleine Winkelauflösung benötigen. CORDIC ist i. d. R. effizienter umsetzbar als die Taylor-Reihe und zudem besser konditioniert.

Umkehrfunktion

Da sich zu einem gegebenen Wert ${\displaystyle \sin \alpha \in [-1,1]}$ ein passender Winkel im ersten oder vierten Quadranten und zu einem gegebenen Wert ${\displaystyle \cos \alpha \in [-1,1]}$ ein passender Winkel im ersten oder zweiten Quadranten konstruieren lässt, folgt aus diesen geometrischen Überlegungen, dass die Funktionen

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \colon [-90^{\circ },90^{\circ }]&\to [-1,1]\\\cos \colon [0^{\circ },180^{\circ }]&\to [-1,1]\end{aligned}}}$

Umkehrfunktionen besitzen. Die Umkehrfunktionen

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin \colon [-1,1]&\to [-90^{\circ },90^{\circ }]\\\arccos \colon [-1,1]&\to [0^{\circ },180^{\circ }]\end{aligned}}}$

werden Arkussinus bzw. Arkuskosinus genannt. Der Name rührt daher, dass sich deren Wert nicht nur als Winkel, sondern auch als Länge eines Kreisbogens (Arcus bedeutet Bogen) interpretieren lässt.

In der Analysis ist die Verwendung des Bogenmaßes praktisch, weil andernfalls (beim Gradmaß) oft die Identität ${\displaystyle g^{\circ }=g\cdot \pi /180}$ zu berücksichtigen wäre. Die Sinusfunktion

${\displaystyle \sin \colon \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\to [-1,1]}$

und die Kosinusfunktion

${\displaystyle \cos \colon [0,\pi ]\to [-1,1]}$

sind auf den angegebenen Definitionsbereichen streng monoton, surjektiv und daher invertierbar. Die Umkehrfunktionen sind

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin \colon [-1,1]&\to \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\\\arccos \colon [-1,1]&\to \left[0,\pi \right]\end{aligned}}}$

Eine andere Interpretation des Wertes als doppelter Flächeninhalt des dazugehörigen Kreissektors am Einheitskreis ist ebenfalls möglich; diese Interpretation ist insbesondere für die Analogie zwischen Kreis- und Hyperbelfunktionen nützlich.

Zusammenhang mit dem Skalarprodukt

Der Kosinus steht in enger Beziehung mit dem Skalarprodukt zweier zwei- oder dreidimensionaler Vektoren ${\displaystyle {\vec {a}}}$ und ${\displaystyle {\vec {b}}}$:

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\,\cos \measuredangle ({\vec {a}},{\vec {b}})}$

Das Skalarprodukt ist also die Länge der Vektoren multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels. In abstrakten Skalarprodukträumen wird über diese Beziehung der Winkel zwischen Vektoren definiert.

Zusammenhang mit dem Kreuzprodukt

Der Sinus steht in enger Beziehung mit dem Kreuzprodukt zweier dreidimensionaler Vektoren ${\displaystyle {\vec {a}}}$ und ${\displaystyle {\vec {b}}}$:

${\displaystyle |{\vec {a}}\times {\vec {b}}|=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\,\sin \measuredangle ({\vec {a}},{\vec {b}})}$

Additionstheoreme

Die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus lauten:

${\displaystyle \sin(x\pm y)=\sin x\;\cos y\pm \cos x\;\sin y}$

${\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos x\;\cos y\mp \sin x\;\sin y}$

Aus den Additionstheoremen folgt insbesondere für doppelte Winkel

${\displaystyle \sin(2x)=2\sin x\;\cos x}$

${\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=1-2\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1}$

Orthogonale Zerlegung

Die harmonische Schwingung

${\displaystyle a(x)={\sqrt {2}}A\sin(x+\varphi _{a})}$

wird durch

${\displaystyle a(x)={\frac {1}{B^{2}}}{\overline {a(x)b(x)}}\cdot b(x)+{\frac {1}{B^{2}}}{\overline {a(x)b'(x)}}\cdot b'(x)}$

in orthogonale Komponenten zur Basis der harmonischen Schwingung

${\displaystyle b(x)={\sqrt {2}}B\sin(x+\varphi _{b})}$

zerlegt. ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ sind Effektivwerte, ${\displaystyle \varphi _{a}}$ und ${\displaystyle \varphi _{b}}$ Nullphasenwinkel. Ihre Differenz

${\displaystyle \varphi =\varphi _{a}-\varphi _{b}}$

heißt Phasenverschiebungswinkel. Die Ableitung der Basisfunktion

${\displaystyle b'(x)={\frac {{\text{d}}b(x)}{{\text{d}}x}}}$

läuft ${\displaystyle b(x)}$ um eine Viertelperiode voraus. Die in den Zerlegungskoeffizienten enthaltenen Gleichwerte folgen aus einer modifizierten Fourier-Analyse, bei der nicht die Sinus- und Kosinusfunktion, sondern ${\displaystyle b(x)}$ und ${\displaystyle b'(x)}$ als Basis dienen. Durch Einsetzen der harmonischen Ansätze ergibt sich schließlich:

${\displaystyle a(x)={\frac {A}{B}}\cos \varphi \cdot b(x)+{\frac {A}{B}}\sin \varphi \cdot b'(x)}$

Die Zerlegung gilt auch bei Ansatz von ${\displaystyle a(x)}$ und ${\displaystyle b(x)}$ mit der Kosinusfunktion.

Ableitung, Integration und Krümmung von Sinus und Kosinus

Ableitung

Für die Ableitung der Sinusfunktion gilt:^[9]

${\displaystyle \sin ^{\prime }x=\cos x}$

Aus ${\displaystyle \cos x=\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-x\right)}$ und der Kettenregel erhält man die Ableitung des Kosinus:

${\displaystyle \cos ^{\prime }x=-\sin x}$

und daraus schließlich auch alle höheren Ableitungen von Sinus und Kosinus

${\displaystyle \sin ^{(4n+k)}x=\sin \left(x+k{\frac {\pi }{2}}\right)=\left\{{\begin{matrix}\sin x,&{\text{wenn }}k=0\\\cos x,&{\text{wenn }}k=1\\-\sin x,&{\text{wenn }}k=2\\-\cos x,&{\text{wenn }}k=3\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle \cos ^{(4n+k)}x=\cos \left(x+k{\frac {\pi }{2}}\right)=\left\{{\begin{matrix}\cos x,&{\text{wenn }}k=0\\-\sin x,&{\text{wenn }}k=1\\-\cos x,&{\text{wenn }}k=2\\\sin x,&{\text{wenn }}k=3\end{matrix}}\right.}$

Dabei ist es wegen ${\displaystyle 1^{\circ }:={\tfrac {\pi }{180}}}$ (also ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{180^{\circ }}}=1}$) egal, ob der Winkel ${\displaystyle x}$ im Grad- oder im Bogenmaß gemessen wird, denn für ${\displaystyle x=g^{\circ }}$ gilt nicht nur ${\displaystyle \sin ^{\prime }x={\tfrac {\mathrm {d} \sin x}{\mathrm {d} x}}=\cos x,}$ sondern auch ${\displaystyle \sin ^{\prime }g={\tfrac {\mathrm {d} \sin g}{\mathrm {d} g}}=\cos g.}$ Nur für die Ableitung ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} \sin x}{\mathrm {d} g}}}$ des Sinus eines Winkels ${\displaystyle x=g^{\circ }}$ nach seiner Gradzahl ${\displaystyle g}$ käme ein störender Faktor ${\displaystyle 1^{\circ }={\tfrac {\pi }{180}}\neq 1}$ hinzu:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sin x}{\mathrm {d} g}}={\frac {\mathrm {d} \sin(g\cdot 1^{\circ })}{\mathrm {d} g}}=1^{\circ }\cdot {\frac {\mathrm {d} \sin g}{\mathrm {d} g}}=1^{\circ }\cdot \cos g={\frac {\pi }{180}}\cdot \cos x}$

Um dies zu vermeiden, wird üblicherweise in der Analysis der Winkel ausschließlich im Bogenmaß angegeben.

Stammfunktion

Aus den Ergebnissen über die Ableitung ergibt sich unmittelbar die Stammfunktion von Sinus und Kosinus:

${\displaystyle \int \sin x\,\mathrm {d} x=-\cos x+C}$

${\displaystyle \int \cos x\,\mathrm {d} x=\sin x+C}$

Krümmung

Die Krümmung des Graphen wird mit Hilfe der Formel

${\displaystyle \kappa (x)={\frac {f''(x)}{\left(1+f'(x)^{2}\right)^{3/2}}}}$

berechnet. Für ${\displaystyle f(x)=\sin x}$ erhält man damit die Krümmungsfunktion

${\displaystyle \kappa (x)=-{\frac {\sin x}{\left(1+\cos ^{2}x\right)^{3/2}}}}$

und für ${\displaystyle f(x)=\cos x}$ entsprechend

${\displaystyle \kappa (x)=-{\frac {\cos x}{\left(1+\sin ^{2}x\right)^{3/2}}}}$.

An den Wendepunkten ist die Krümmung gleich null. Dort hat die Krümmungsfunktion einen Vorzeichenwechsel. An der Stelle des Maximums ist die Krümmung gleich −1 und an der Stelle des Minimums gleich 1. Der Krümmungskreis hat an den Extrempunktem also jeweils den Radius 1.

Anwendungen

Allgemeines Dreieck

Mit der Sinusfunktion können auch im nicht rechtwinkligen Dreieck Größen, speziell die Höhen, berechnet werden; ein Beispiel ist die Berechnung von ${\displaystyle h_{c}}$ im Dreieck ABC bei gegebener Länge ${\displaystyle a=5{,}4}$ und Winkel ${\displaystyle \beta =42^{\circ }}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {h_{c}}{a}}&=\sin \beta \\h_{c}&=a\cdot \sin \beta \\h_{c}&=5{,}4\cdot \sin 42^{\circ }\approx 3{,}613\end{aligned}}}$

Andere wichtige Anwendungen sind der Sinussatz und der Kosinussatz.

Sektrix

Die Sinuskurve ist eine der bekanntesten Funktionsgraphen. Trotz alledem ist nahezu nichts über ihre Eigenschaft bekannt, einen Winkel in ${\displaystyle n}$ gleich große Teile zu zerlegen. Das nebenstehende Bild zeigt exemplarisch die Teilung des Winkels ${\displaystyle \alpha }$ in sechs gleich große Winkelweiten.^[10]

Konstruktion

Zuerst wird ein Viertelkreis mit Radius gleich ${\displaystyle 1\;[LE]}$^[11] um ${\displaystyle A}$ gezogen und anschließend der Radius ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ über ${\displaystyle B}$ hinaus verlängert. Der Graph der Funktion ${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$, sprich die Sinuskurve, wird nun z. B. mittels einer Schablone oder einer sogenannten Dynamischen-Geometrie-Software (DGS) eingetragen. Dabei schneidet die Sinuskurve die Verlängerung des Radius ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ und liefert so die Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ auf der ${\displaystyle x}$-Achse.

In den nächsten Schritten werden vier Werte des Bogenmaßes für den 2. Quadranten der Sinuskurve auf der ${\displaystyle x}$-Achse bestimmt mit jeweils gleichem Abstand zueinander. Es ist in diesem Fall für die Plausibilität von Vorteil, die Bogenmaße mit dem gemeinsamen Nenner ${\displaystyle 8}$ zu bezeichnen. Durch Halbieren des Abstandes ${\displaystyle |A\pi |}$ ergibt sich das Bogenmaß ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi ={\tfrac {4\pi }{8}}\;{\widehat {=}}\;90^{\circ }}$. Mittels einer Senkrechten und einer Parallelen – jeweils zur ${\displaystyle x}$-Achse – wird ${\displaystyle {\tfrac {4\pi }{8}}}$ auf den Viertelkreis übertragen; dabei trifft ${\displaystyle {\tfrac {4\pi }{8}}}$ den Punkt ${\displaystyle C}$.

Die darauf folgende Dreiteilung des Abstandes ${\displaystyle |{\tfrac {4\pi }{8}}\pi |}$ liefert, unter Verwendung des ersten Strahlensatzes, die Bogenmaße ${\displaystyle {\tfrac {5\pi }{8}}}$, ${\displaystyle {\tfrac {6\pi }{8}}}$ und ${\displaystyle {\tfrac {7\pi }{8}}}$ sowie die Schnittpunkte ${\displaystyle D,F}$ und ${\displaystyle H}$. Das Übertragen dieser Punkte auf die Sinuskurve erfolgt mithilfe von Senkrechten zur ${\displaystyle x}$-Achse; nun bezeichnet mit ${\displaystyle D_{1},F_{1}}$ und ${\displaystyle H_{1}}$. Anschließend werden diese Punkte mittels Parallelen zur ${\displaystyle x}$-Achse auf den Viertelkreisbogen projiziert, nun bezeichnet mit ${\displaystyle D_{2},F_{2}}$ und ${\displaystyle H_{2}}$. Da die Bogenmaße quasi vom 2. Quadranten der Sinuskurve zum 1. Quadranten des Kreises wechseln, werden sie zu Pendants mit den Bezeichnungen ${\displaystyle {\tfrac {4\pi }{8}},\;{\tfrac {3\pi }{8}},\;{\tfrac {2\pi }{8}},\;}$ und ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{8}}}$.

Auf die gleiche Art und Weise werden die Punkte ${\displaystyle E,G}$ und ${\displaystyle I}$ bestimmt und schließlich auf den Viertelkreisbogen, nun mit den Bezeichnungen ${\displaystyle E_{2},G_{2}}$ und ${\displaystyle I_{2}}$, übertragen. Im dargestellten Beispiel ist der Winkel ${\displaystyle BAI_{2}}$ der sechste Teil des Winkels ${\displaystyle \alpha }$.

Nachweis

Für die betreffenden Funktionswerte der Sinuskurve gilt: Der Winkel (Grad) entspricht dem Bogenmaß (Teil von ${\displaystyle \pi }$ bzw. ${\displaystyle \pi }$).

${\displaystyle 90^{\circ }\;{\widehat {=}}\;{\frac {\pi }{2}}={\frac {4\pi }{8}}}$;    ${\displaystyle 112{,}5^{\circ }\;{\widehat {=}}\;{\frac {5\pi }{8}}}$;    ${\displaystyle 135^{\circ }\;{\widehat {=}}{\frac {6\pi }{8}}}$;    ${\displaystyle 157{,}5^{\circ }\;{\widehat {=}}\;{\frac {7\pi }{8}}}$;    ${\displaystyle 180^{\circ }\;{\widehat {=}}\;\pi }$,

daraus folgt:

• Der Winkel und das Bogenmaß sind zueinander direkt proportional, z. B.: ${\displaystyle 112{,}5^{\circ }:135^{\circ }={\frac {5\pi }{8}}:{\frac {6\pi }{8}}.}$

Dies bedeutet:

• Der n-te Teil des Abstandes ${\displaystyle |{\frac {4\pi }{8}}\;\pi |}$ (z. B.: ${\displaystyle |I\;\pi |}$) und der n-te Teil des Viertelkreisbogens (z. B.: ${\displaystyle ABI_{2}}$) sind gleich lang.

Fourierreihen

Im Hilbertraum ${\displaystyle L^{2}[-\pi ,\pi ]}$ der auf dem Intervall ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ bezüglich des Lebesgue-Maßes quadratisch integrierbaren Funktionen bilden die Funktionen

${\displaystyle 1,\cos(nx),\sin(nx)\quad n=1,2,\dotsc }$

ein vollständiges Orthogonalsystem, das sogenannte trigonometrische System. Daher lassen sich alle Funktionen ${\displaystyle f\in L^{2}[-\pi ,\pi ]}$ als Fourierreihe

${\displaystyle S_{n}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx)\right)}$

darstellen, wobei die Funktionenfolge ${\displaystyle S_{n}(x)}$ in der L²-Norm gegen ${\displaystyle f(x)}$ konvergiert.

Informatik

In der Informatik wird zur Erstellung von Audiodateien (zum Beispiel im Audioformat MP3),^[12] digitalen Bildern im Grafikformat JPEG,^[13] Videodateien (zum Beispiel im Containerformat MP4 oder WebM) die diskrete Kosinustransformation oder die modifizierte diskrete Kosinustransformation verwendet. Zum Abspielen oder Anzeigen solcher Dateien wird die inverse diskrete Kosinustransformation, also die Umkehrfunktion verwendet.^[14] Bei der digitalen Verarbeitung von akustischen und optischen Signalen wird unter anderem die Schnelle Fourier-Transformation verwendet.^[15]

Physik

In der Physik werden Sinus- und Kosinusfunktion zur Beschreibung von Schwingungen verwendet. Insbesondere lassen sich durch die oben erwähnten Fourierreihen beliebige periodische Signale als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen darstellen, siehe Fourieranalyse.

Elektrotechnik

In der Elektrotechnik sind häufig elektrische Stromstärke ${\displaystyle I}$ und Spannung ${\displaystyle U}$ sinusförmig. Wenn sie sich um einen Phasenverschiebungswinkel ${\displaystyle \varphi }$ unterscheiden, dann unterscheidet sich die aus Stromstärke und Spannung gebildete Scheinleistung ${\displaystyle S}$ von der Wirkleistung ${\displaystyle P}$:

${\displaystyle S=U\cdot I}$

${\displaystyle P=U\cdot I\cdot \cos \varphi }$

Bei nicht sinusförmigen Größen (z. B. bei einem Netzteil mit herkömmlichem Brückengleichrichter am Eingang) entstehen Oberschwingungen, bei denen sich kein einheitlicher Phasenverschiebungswinkel angeben lässt. Dann lässt sich zwar noch ein Leistungsfaktor

${\displaystyle \lambda ={\frac {|P|}{S}}}$

angeben, dieser Leistungsfaktor ${\displaystyle \lambda }$ darf aber mit ${\displaystyle \cos(\varphi )}$ nicht verwechselt werden.

Siehe auch

• Trigonometrische Funktion
• Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus
• Formelsammlung Trigonometrie
• Sinuston

Literatur

• I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 19. Auflage. B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1979.
• Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis I. Eine integrierte Darstellung. 7. Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1989.
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 1. 6. Auflage. Teubner, 1989.

Weblinks

• Interaktive Darstellung der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis. In: GeoGebra. Abgerufen am 19. Mai 2023 

Einzelnachweise

1. ↑ J. Ruska: Zur Geschichte des „Sinus“. In: Zeitschrift für Mathematik und Physik. Teubner, Leipzig 1895. S. 126 ff. Auch online zugänglich: Digitalisierungszentrum der Universität Göttingen.
2. ↑ Josef Laub (Hrsg.): Lehrbuch der Mathematik für die Oberstufe der allgemeinbildenden höheren Schulen. 2. Band. 2. Auflage. Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1977, ISBN 3-209-00159-6, S. 207.
3. ↑ Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, New York 1964. ISBN 0-486-61272-4, (4.3.96–4.3.99). (Memento vom 1. Februar 2009 im Internet Archive).
4. ↑ Leopold Vietoris: Vom Grenzwert ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\tfrac {\sin x}{x}}}$. In: Elemente der Mathematik. Band 12, 1957.
5. ↑ Georg Hoever: Höhere Mathematik kompakt. Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-662-43994-4 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
6. ↑ Eric W. Weisstein: Trigonometry Angles--Pi/17. Abgerufen am 4. Februar 2023 (englisch). 
7. ↑ Leonhard Euler: Introductio in analysin infinitorum. Band 2. Marc Michel Bousquet, Lausanne 1748, S. 306–308. 
8. ↑ Eric W. Weisstein: Dottie number. In: MathWorld (englisch).
9. ↑ Wikibooks: Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion
10. ↑ Hung Tao Sheng: A Method of Trisection of an Angle and X-Section of an Angle. 4. Xsection of an angle, X = 7. In: Mathematics Magazine. 42, No. 2. Taylor & Francis, März 1969, S. 79, JSTOR:2689193 (englisch). 
11. ↑ ${\displaystyle [LE]}$ = Längeneinheit
12. ↑ Joebert S. Jacaba: AUDIO COMPRESSION USING MODIFIEDDISCRETE COSINE TRANSFORM: THE MP3 CODING STANDARD. (Memento vom 13. Juni 2010 im Internet Archive).
13. ↑ International Telecommunication Union: INFORMATION TECHNOLOGY – DIGITAL COMPRESSION AND CODING OF CONTINUOUS-TONE STILL IMAGES – REQUIREMENTS AND GUIDELINES
14. ↑ ITWissen, Klaus Lipinski: Videokompression
15. ↑ Tomas Sauer, Justus-Liebig-Universität Gießen: Digitale Signalverarbeitung (Memento vom 9. Juli 2018 im Internet Archive).