Equazioni di Rabinovič-Fabrikant

Le equazioni di Rabinovič-Fabrikant sono un insieme di tre equazioni differenziali ordinarie accoppiate che mostrano un comportamento caotico per determinati valori dei parametri. Prendono il loro nome dai fisici sovietici Michail Rabinovič e Anatolij Fabrikant, che le hanno descritte nel 1979.

Descrizione del sistema

Le equazioni sono:[1]

x ˙ = y ( z − 1 + x 2 ) + γ x {\displaystyle {\dot {x}}=y(z-1+x^{2})+\gamma x\,}

y ˙ = x ( 3 z + 1 − x 2 ) + γ y {\displaystyle {\dot {y}}=x(3z+1-x^{2})+\gamma y\,}

z ˙ = − 2 z ( α + x y ) , {\displaystyle {\dot {z}}=-2z(\alpha +xy),\,}

dove α, γ sono costanti che controllano l'evoluzione del sistema. Per alcuni valori di α e γ, il sistema è caotico, ma per altri tende a un'orbita periodica stabile.

Danca e Chen[2] sottolineano quanto il sistema Rabinovič-Fabrikant sia difficile da analizzare (a causa della presenza di termini quadratici e cubici) e che è possibile ottenere attrattori diversi per gli stessi parametri utilizzando diverse grandezze nell'integrazione. Inoltre, recentemente, è stato scoperto un attrattore nascosto nel sistema Rabinovič-Fabrikant.[3]

Punti di equilibrio

Grafico delle regioni per cui i punti di equilibrio x ~ 1 , 2 , 3 , 4 {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}_{1,2,3,4}} esiste.

Il sistema Rabinovič-Fabrikant ha cinque punti di equilibrio iperbolico, uno all'origine e quattro dipendenti dai parametri di sistema α e γ :[2]

x ~ 0 = ( 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}_{0}=(0,0,0)}

x ~ 1 , 2 = ( ± q − , − α q − , 1 − ( 1 − γ α ) q − 2 ) {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}_{1,2}=\left(\pm q_{-},-{\frac {\alpha }{q_{-}}},1-\left(1-{\frac {\gamma }{\alpha }}\right)q_{-}^{2}\right)}

x ~ 3 , 4 = ( ± q + , − α q + , 1 − ( 1 − γ α ) q + 2 ) {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}_{3,4}=\left(\pm q_{+},-{\frac {\alpha }{q_{+}}},1-\left(1-{\frac {\gamma }{\alpha }}\right)q_{+}^{2}\right)}

dove

q ± = 1 ± 1 − γ α ( 1 − 3 γ 4 α ) 2 ( 1 − 3 γ 4 α ) {\displaystyle q_{\pm }={\sqrt {\frac {1\pm {\sqrt {1-\gamma \alpha \left(1-{\frac {3\gamma }{4\alpha }}\right)}}}{2\left(1-{\frac {3\gamma }{4\alpha }}\right)}}}}

Questi punti di equilibrio esistono solo per determinati valori di α e γ > 0.

γ = 0.87, α = 1.1

Un esempio di comportamento caotico è ottenuto per γ = 0.87 e α = 1.1 con condizioni iniziali di (-1, 0, 0.5).[4] La dimensione di correlazione è risultata pari a 2,19 ± 0,01.[5] Gli esponenti di Ljapunov, λ sono approssimativamente 0.1981, 0, -0.6581 e la dimensione di Kaplan-Yorke, D KY ≈ 2.3010[4]

γ = 0,1

Danca e Romera[6] hanno mostrato che per γ = 0,1, il sistema è caotico per α = 0,98, ma progredisce su un ciclo limite stabile per α = 0,14.

Diagramma parametrico 3D della soluzione delle equazioni Rabinovič-Fabrikant per α = 0,14 e γ = 0,1 (il ciclo limite è mostrato dalla curva rossa)

Note

  1. ^ Michail I. Rabinovich e Anatolij L. Fabrikant, Stochastic Self-Modulation of Waves in Nonequilibrium Media, in Sov. Phys. JETP, vol. 50, 1979, p. 311.
  2. ^ a b (EN) Marius-F. Danca e Guanrong Chen, Bifurcation and Chaos in a Complex Model of Dissipative Medium, in International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 14, n. 10, ottobre 2004, pp. 3409-3447, DOI:10.1142/S0218127404011430. URL consultato il 7 luglio 2019.
  3. ^ (EN) Marius-F. Danca, Nikolaj Kuznecov e Guanrong Chen, Unusual dynamics and hidden attractors of the Rabinovich–Fabrikant system, in Nonlinear Dynamics, vol. 88, n. 1, aprile 2017, pp. 791-805, DOI:10.1007/s11071-016-3276-1. URL consultato il 7 luglio 2019.
  4. ^ a b Julien C. Sprott, Chaos and time-series analysis, Oxford University Press, 2003, ISBN 0198508395, OCLC 493261461.
  5. ^ (EN) Peter Grassberger e Itamar Procaccia, Measuring the strangeness of strange attractors, in Physica D: Nonlinear Phenomena, vol. 9, n. 1-2, 1983-10, pp. 189-208, DOI:10.1016/0167-2789(83)90298-1. URL consultato il 7 luglio 2019.
  6. ^ Marius-F. Danca, Miguel Romera e Gerardo Pastor, Finding attractors of continuous-time systems by parameter switching, in Nonlinear Dynamics, vol. 67, n. 4, 28 settembre 2011, pp. 2317-2342, DOI:10.1007/s11071-011-0172-6. URL consultato il 7 luglio 2019.

Bibliografia

  • Marius-F. Danca e Miguel Romera, Algorithm for Control and Anticontrol of Chaos in Continuous-Time Dynamical Systems, in Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, vol. 15, Watam Press, 2008, pp. 155-164.
  • Marius-F. Danca e Guanrong Chen, Birfurcation and Chaos in a Complex Model of Dissipative Medium, in International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 14, n. 10, World Scientific Publishing Company, 2004, pp. 3409-3447, DOI:10.1142/S0218127404011430.

Voci correlate

  • Teoria del caos

Collegamenti esterni

  • Eric W. Weisstein, Rabinovich-Fabrikant Equation, su MathWorld - A Wolfram Web Resource.
  • Chaotics modella un approccio più appropriato al grafico caotico del sistema "Rabinovich-Fabrikant Equation"
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