Identità di Bézout

In matematica, in particolare nella teoria dei numeri, l'identità di Bézout (o lemma di Bézout o identità di Bachet-Bézout) afferma che se ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ sono interi (non entrambi nulli) e il loro massimo comun divisore è ${\displaystyle d}$, allora esistono due interi ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ tali che

${\displaystyle ax+by=d.}$

Tali coppie di numeri ${\displaystyle (x,y)}$ possono essere determinate utilizzando l'algoritmo esteso di Euclide, ma non sono univocamente determinate (nel senso che esistono infinite coppie di numeri che soddisfano l'identità).

Per esempio, consideriamo i numeri ${\displaystyle 12}$ e ${\displaystyle 42}$: il massimo comune divisore è ${\displaystyle 6}$, e possiamo scrivere

${\displaystyle (-3)\cdot 12+1\cdot 42=6,}$

ma anche

${\displaystyle 4\cdot 12+(-1)\cdot 42=6.}$

In effetti, a partire da una soluzione ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$, si dimostra, attraverso il lemma di Euclide, che l'insieme delle soluzioni è costituito da elementi del tipo

${\displaystyle a\left(x_{0}-k{\frac {b}{d}}\right)+b\left(y_{0}+k{\frac {a}{d}}\right)=d,\quad {\text{ per }}k\in \mathbb {Z} .}$

L'identità di Bézout è equivalente all'asserzione che la congruenza lineare ${\displaystyle ax\equiv d\mod b}$ (dove ${\displaystyle d}$ è il massimo comun divisore di ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$) ammette una soluzione ${\displaystyle x}$ modulo ${\displaystyle b}$.

L'identità è valida non solo nell'anello degli interi, ma più in generale in qualunque altro dominio ad ideali principali. Detto esplicitamente, se ${\displaystyle R}$ è un dominio ad ideali principali, ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ sono elementi di ${\displaystyle R}$, e ${\displaystyle d}$ è un massimo comune divisore di ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$, allora esistono elementi ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ in ${\displaystyle R}$ tali che ${\displaystyle ax+by=d}$. Inoltre i massimi comun divisori di ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ sono tutti e soli i generatori dell'ideale ${\displaystyle (a,b)}$.

L'identità di Bézout è così chiamata in onore del matematico francese Étienne Bézout (1730-1783). Ad essa viene anche associato il nome del matematico della Savoia Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638), autore della più famosa traduzione in latino dell'Aritmetica di Diofanto.

Questa stessa proprietà vale per una quantità arbitraria di numeri: dati ${\displaystyle n}$ numeri ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})}$, se ${\displaystyle d}$ è il loro massimo comun divisore, esiste una ${\displaystyle n}$-upla ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ tale che

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=d.}$

L'identità di Bézout si applica anche ai polinomi a coefficienti in un campo. Infatti, se ${\displaystyle K}$ è un campo, l'anello ${\displaystyle K[x]}$ è un dominio euclideo, e quindi anche un dominio ad ideali principali. Ad esempio, questa proprietà vale in ${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$ e in ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$.

• Equazione diofantea
• Equazione diofantea lineare
• Equazione diofantea quadratica
• Algoritmo di Euclide
• Massimo comun divisore

• Bezout, identita di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Bézout's Identity, su MathWorld, Wolfram Research.
• Calcolatrice online per l'identità di Bézout.

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