Teorema da decomposição de Doob–Meyer

O teorema da decomposição de Doob–Meyer é um teorema em cálculo estocástico que afirma as condições sob as quais um submartingale pode ser decomposto de forma única como a soma de um martingale e um processo crescente previsível. Recebe este nome em homenagem ao matemático norte-americano Joseph Leo Doob e ao matemático francês Paul-André Meyer.

História

Em 1953, Doob publicou o teorema da decomposição de Doob, que dá uma única decomposição para certos martingales de tempo discreto.^[1] O matemático norte-americano conjeturou uma versão de tempo contínuo do teorema e, em duas publicações em 1962 e 1963, Meyer provou tal teorema, que se tornou conhecido como decomposição de Doob–Meyer.^[2][3] Em homenagem a Doob, o matemático francês usou o termo "classe D" para se referir à classe de supermartingales para os quais seu teorema da decomposição única se aplicava.^[4]

Supermartingales de classe D

Um submartingale càdlàg ${\displaystyle Z}$ é de classe D se ${\displaystyle Z_{0}=0}$ e a coleção:

${\displaystyle \{Z_{T}\mid {\text{T um tempo de parada de valor finito}}\}}$

for uniformemente integrável.^[4]

Teorema

Considere ${\displaystyle Z}$ um submartingale càdlàg de classe D. Então, existe um processo único, crescente e previsível ${\displaystyle A}$ com ${\displaystyle A_{0}=0}$ tal que ${\displaystyle M_{t}=Z_{t}-A_{t}}$ é um martingale uniformemente integrável.^[4]

Referências